Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których różne rozwiązania x1, x2 równania spełniają war.... Question from @Uneur

December 2018 2 88 Report

Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których różne rozwiązania x1, x2 równania $x^{2} +(k+2)x+4=0$ spełniają warunek $\frac{1}{ x1^{2} } +$ $\frac{1}{ x2^{2} }$ =k

Obliczyłem
Δ>0
wyszło mi
k∈(-∞,-6)u(2,∞)

Potem przekształciłem ten wzór: $\frac{1}{ x1^{2} } +$ $\frac{1}{ x2^{2} }$ =k
Końcowo wyszło mi $\frac{(x1+x2)^2-2x1x2}{(x1*x2)^2} =k$

Teraz trzeba zastosować wzory Viety i tu się zaczynają schodki bo nie wiem czy dobrze podstawiam.

Mógł by ktoś zrobić mi to zadanie od momentu mojego przekształcenia $\frac{(x1+x2)^2-2x1x2}{(x1*x2)^2} =k$

Przy czym x1 i x2 są miescami zerowymi więc nie są to liczby ze zwzoru tylko numeracja miejsc zerowych

Dawid1987Gumis

Szkoła średnia

Dział Równania kwadratowe z parametrem

Rozważmy równanie postaci $x^2+(k+2)x+4=0.$ Jest to równanie kwadratowe, w którym $a=1 \not = 0,\, b=2+k,\, c=4.$

Przypomnijmy, że równanie kwadratowe postaci $ax^2+bx+c=0,$ w którym $a \not = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta=b^2-4ac>0.$

Wobec tego aby spełnione były warunki zadania, muszą zachodzić łącznie obydwa poniższe warunki:

$\Delta>0\\\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=k$

Zajmijmy się teraz pierwszym z nich, czyli wyliczmy dla jakich wartości parametru $k$ podane równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, tj. $\Delta >0.$

$\Delta=b^2-4ac=(2+k)^2-16=k^2+4k-12\\\Delta >0\\k^2+4k-12>0\\\\k^2+6k-2k-12>0\\k(k+6)-2(k+6)>0\\(k+6)(k-2)>0\\\boxed{k \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)}$

Przypomnijmy twierdzenie Viete'a:

Niech dane będzie równanie kwadratowe postaci $ax^2+bx+c=0,$ w którym $a\not =0.$ Jeżeli $\Delta=b^2-4ac\geq 0,$ wówczas zachodza równości nazywane wzorami Viete'a:

$x_1 + x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}.$

Zauważmy, że założenia twierdzenia Viete'a sa spełnione, zatem zachodzą podane wyżej równości.

Zauważmy także, że:

$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_2^2}{x_1^2x_2^2}+\dfrac{x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\dfrac{(x_1 + x_2)^2-2x_1\cdot x_2}{(x_1\cdot x_2)^2}$

W takim razie możemy podstawić dane z naszego zadania i dostajemy:

$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=k \\ \dfrac{b^2-2c}{c^2}=k$

Wobec powyższego:

$\dfrac{b^2-2c}{c^2}=k\\\dfrac{(2+k)^2-2 \cdot 4}{4^2}=k\\k^2+4k+4-8=16k\\k^2+4k-4=16k\\k^2+4k-4-16k=0\\k^2-12k-4=0\\\Delta_1=12^2-4\cdot 1\cdot (-4)=144+16=160=(4\sqrt{10})^2\\k_1=\dfrac{12-4\sqrt{10}}{2}=6-2\sqrt{10} \not \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)\\k_2=\dfrac{12+4\sqrt{10}}{2}=6+2\sqrt{10}\in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$

W takim razie jedyną możliwą wartością parametru $k$ spełniającą warunki zadania jest $k=6+2\sqrt{10}.$

5 votes Thanks 5

Grzesinek Wzory Viete'a:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\\gdzie:\;a,b,c\;sa\;wspolczynnikami\;rownania\;ax^2+bx+c=0$
U nas:
$a=1,\;b=k+2,\;c=4$
A więc:
$x_1+x_2=-(k+2)\\x_1\cdot{x_2}=4\\\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1\cdot{x_2})^2}=k\\\frac{[-(k+2)]^2-2\cdot4}{4^2}=k\\\frac{k^2+4k+4-8}{16}=k\\k^2+4k-4=16k\\k^2-12k-4=0\\\Delta_k=12^2+4\cdot4=160\\\sqrt{\Delta_k}=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}\\k=\frac{12\mp4\sqrt{10}}{2}=6\mp2\sqrt{10}\\k_1=6-2\sqrt{10},\;\;k_2=6+2\sqrt{10}$

$-6<k_1<2\;i\;k_2>2$ więc tylko drugi pierwiastek spełnia warunek wyliczony wcześniej (dotyczący istnienia 2 różnych pierwiastków równania):
$k\in(-\infty;\;-6)\;\cup\;(2;\;+\infty)$
Odp.
$k=6+2\sqrt{10}$

10 votes Thanks 16

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Którzy królowie i książęta Polscy mieli za żony księżniczki Kijowskie.

Proszę o pomoc. Obliczanie granic ciągu. Zadania: 2.12 b), e) 2.14 c) lub f) (bardziej zależy mi na f), a najlepiej oba) Zdjęcie zadań w załączniku Zadanie za 27 pkt. Nie zapomnę dać Naj ;)

W rombie ABCD, którego pole wynosi 48, dane są przeciwległe wierzchołki A(1,-5) i C(-5,1). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków. Policzone mam S (-2,-2) |AC|=6=d1 I z woru na pole rombu P= mam policzone d2 d2=8 Nie wiem co liczyć dalej. Daje naj ;)

8.84 c) Rozwiąż równania w danym przedziale: x∈<0,3> Potrzebne na jutro

Rozwiąż równania, podaj dziedzinę: Liczę i liczę i nwm gdzie robię błąd. Wynik ma wyjść: x∈{,7}

Pan Kowalski robił kopię systemu, niestety nie podpisywał płyt, które z czasem się pomieszały. Jak pan Kowalski może ustalić kolejność płyt by kopia systemu przywrócona z płyt działała poprawnie?

Dzielenie wielomianów (-4x^3+12x^2-9x+2)/(4x^2-8x+3) Proszę niech ktoś mi to podzieli bo mam końcówkę zadania i całkiem mi wypadło z głowy jak się to robiło :D Najlepiej na karteczce jak bym dostał odpowiedź ale tu też może być

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social