Question

Wyznacz wspolrzedne punktu nalezacego do paraboli y=2x^2 , lezacego najblizej prostej 4x-3y-4=0

Answer 1

Rysunek: http://i46.tinypic.com/oi57if.png

punkt ten leży na paraboli i ma współrzędne (x,y), ale wiemy, że y=2x², więc współrzędne punktu to (x,2x²)

mamy punkt (x,2x²) oraz prostą 4x-3y-4=0... wyznaczmy odległość punktu od prostej:

d = |Ax+By+C|/√(A²+B²) = |4*x-3*2x²-4|/√(4²+(-3)²) = |4x-6x²-4|/√25 = |-6x²+4x-4|/5

szukamy najmniejszej odległości... im mniejszy będzie licznik tym mniejsza wartość całej odległości... obliczmy najpierw deltę:
Δ=4²-4*(-6)*(-4)
Δ=16-96
Δ=-80

widać wyraźnie, że delta jest mniejsza od zera, więc wyrażenie w wartości bezwzględnej nie zmienia znaku, a jest zawsze dodatnie lub zawsze ujemne... podstawiając przykładowo "1" widzimy, że dostaliśmy wartość ujemną - czyli wartość wyrażenia "-6x²+4x-4" jest zawsze ujemna.

Jeśli wiemy, że wartość bezwzględna z liczby ujemnej to nic innego jak zamiana znaku na plus, np.
|-4|=-(-4)=4
to możemy zastosować coś podobnego dla naszego licznika:
-(-6x²+4x-4)/5

szukamy więc najmniejszej wartości tego wyrażenia:
(6x²-4x+4)/5

oczywiście będzie to wierzchołek (parabola jest nad osią x i ma ramiona skierowane do dołu)... więc liczymy:
p=-b/2a
p=4/12=⅓
q=80/24=3⅓


najmniejsza wartość jest dla x=⅓ i wynosi (10/3)/5=⅔

skoro punkt był postaci (x,2x²) to jest to punkt (⅓,2/9).


Łatwo to teraz sprawdzić wybierając dowolny inny punkt niż podałem ("troszkę w lewo" odsunięty jak i "troszkę w prawo") i sprawdzając czy odległość od prostej będzie mniejsza - nie będzie :)