Question

Jednym z pierwiastkow wielomianu w(x) = px^3 - 7x^2 - 28x + q , gdzie p i q sa liczbami pierwszymi jest -2,5. Znajdz pozostale pierwiastki wielomianu. Wystarczy pokazac jak trzeba to zrobic mniejwiecej. Nie potrzebuje obliczen

Answer 1

Skoro -2,5 jest pierwiastkiem, to dzieli się przez (x+2,5). Więc dzielimy przez ten dwumian i otrzymujemy iloraz oraz resztę:
q - 2,5 *[2,5(7 + 2,5p) + 28], która oczywiście musi być zerem:
q - 2,5[2,5(7 + 2,5p) + 28] = 0, skąd:
1000q = 15625p - 26250
Gdy p = 2 (liczba pierwsza), to q = 5 (też liczba pierwsza)
Nie wiem, jak wykazać, że to wszystkie rozwiązania, ale skoro pasują te, to już coś! Można sprawdzić, czy W(x)=2x³-7x²-28x+5 = 0 dla x=-2,5. Sprawdziłem: zgadza się.
Podstawiamy p=2 do wyniku dzielenia albo jeszcze raz dzielimy 2x³-7x²-28x+5 przez (x+2,5) i otrzymujemy:
u(x) = 2x² - 12x + 2
u(x) = 0 <=> 2x² - 12x + 2 = 0
x² - 6x + 1 = 0
Δ = 32 = 2*16
x = (6 ±4√2)/2 = 3 ± 2√2

Oczywiście trzeba to wszystko sprawdzić...