Question

Wyznacz trójmian kwadratowy y=x²+bx+c majac pierwiastki a) √2 i 1+√2 b) 1+√7 i 1-√7

Answer 1

Y = x2 + bx +c
a =1
Ze wzorów Viete'a :Jeżeli trójmian y =ax2 + bx +c, ma miejsca zerowe X1,X2, to:
X1 + X2 = -b/a ,
X1 *X2 = c/a,
skoro a =1,to
X1 + X2 = -b,
X1 *X2 = c,
a)
X1 = V2 +1,
X2 = V2 ,
-b =(V2 +1) +V2 =2V2 +1
b = - (2V2 +1) ,
c =(V2 +1) *V2 =2 + V2, stąd:
y = x2 -(2V2 +1)x +(2 +V2)
---------------------------------
b)
X1 =1 +V7,
X2 =1 - V7
-b =1 +V7 +1 - V7 =2
b = -2
c = (1 +V7)(1 -V7) =1 -7 = -6
y = x2 -2x -6
---------------------

Answer 2

Metoda "odwrotna" do liczenia miejsc zerowych:

Dane:
Trójmian w postaci y=x²+bx+c (stąd: a=1)

Wzory na pierwiastki:
x1=-b+√Δ / 2a i x2=-b-√Δ / 2a (a=1)

pkt. a:
Pierwiastki: x1=√2 i x2=1+√2

Ze wzorów na pierwiastki możemy obliczyć współczynnik b oraz wyznacznik (Δ):

Po przekształceniu wzorów otrzymujemy układ równań:
x1: (-b+√Δ)÷2 = √2 → -b+√Δ=2√2
x2: (-b-√Δ)÷2 = 1+√2 → -b-√Δ=2+2√2

Rozwiązałem go metodą podstawiania:
x1: -b=2√2-√Δ
x2: (2√2-√Δ)-√Δ=2+2√2

x2: 2√2-2√Δ=2+2√2 |-2√2
x2: -2√Δ=2 |÷(-2)
x2: √Δ=-1
Podstawiamy wartość (np. do równania na x2):
-b-(-1)=2+2√2
-b+1=2+2√2 |-1
-b=1+2√2 |×(-1)
b=-1-2√2

Następnie korzystając ze wzoru na wyznacznik obliczamy współczynnik c:

Δ=b²-4ac

Mamy obliczone:
√Δ=-1 → Δ=1, powinienem teraz przekształcić wzór na wyznacznik aby po lewej stronie mieć sam współczynnik c ale ze względów na brak możliwości posługiwania się tutaj zapisem ułamkowym podstawię do wzoru nieprzekształconego:

1=(-2√2-1)²-4c
1=(8-2(-2√2)+1)-4c
1=8+4√2+1-4c |-1,+4c
4c=8+4√2 |÷4
c=2+√2

Mamy już wszystkie parametry równania:
Odp.: Trójmian kwadratowy o współczynniku a=1 mający pierwiastki √2 i 1+√2 to y=x²+(-1-2√2)x+(2+√2)

Spr.: Δ=(-1-2√2)²-4(2+√2)=(1+4√2+8)-8-4√2=1
√Δ = 1 ∨ -1
x1=(-(-1-2√2)-1)÷2=(1+2√2-1)÷2=√2
x2=(-(-1-2√2)+1)÷2=(1+2√2+1)÷2=(2√2+1)÷2=√2+1
--------------------------------------------------------
pkt. b:
Pierwiastki: x1=1+√7 i x2=1-√7
Analogicznie: (tym razem już bez zbędnego rozpisywania):
x1: (-b+√Δ)÷2 = 1+√7 → -b+√Δ=2+2√7
x2: (-b-√Δ)÷2 = 1-√7 → -b-√Δ=2-2√7

z x1: √Δ=2(1+√7)+b=2+2√7+b
wstawiamy do x2:
-b-(2+2√7+b)=2-2√7
-b-2-2√7-b=2-2√7 |+2√7
-2b-2=2
-2b=4
b=-2
wstawiamy do wzoru na √Δ:
√Δ=2+2√7-2
√Δ=2√7
Δ=28
Ze wzoru na wyznacznik (podstawiamy):
28=4-4c
24=-4c
c=-6

Odp.:
Trójmian kwadratowy o współczynniku a=1 mający pierwiastki x1=1+√7 i x2=1-√7 to y=x²-2x-6

Spr.: Δ=(-2)²-4(-6)=4+24=28
√Δ = √(4×7) = √4×√7 = 2√7 ∨ -2√7
x1=(2-2√7)÷2=1-√7
x1=(2+2√7)÷2=1+√7
--------------------------------------------------------