Question

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt (1,1) która wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 2 i tworzy z dodatnią półosią osi x kąt rozwarty.

Answer 1

Równanie prostej można przedstawić w postaci kierunkowej:
y=ax+b
Ponieważ tworzy ona z dodatnią półosią osi x kąt rozwary to współczynnik a musi być ujemny:
a<0
Prosta przecina oś y w punkcie (0,b) i oś x w punkcie (-b/a,0)
0-b=ax
x=-b/a

Trójkąt o którym mowa w zadaniu jest trójkątem prostokątnym. Przyprostokątne leżące na osiach mają długość |b| i |-b/a| zatem jego pole to:
P=|b|*|-b/a|/2=|b²/2a|=2

Jednocześnie wiemy ze na prostej leży punkt (1,1):
1=a*1+b
b=1-a

Podstawiamy to do powyższego:
|(1-a)²/2a|=2

I mamy dwie możliwości:
(1-2a+a²)/2a=2
lub
(1-2a+a²)/2a=-2
Musimy rozwiązać dwa równania kwadratowe:
(1-2a+a²)/2a=2
1-2a+a²=4a
a²-6a+1=0
Δ=36-4=32
√Δ=4√2
a1=(6-4√2)/2=3-2√2>0
a2=(6+4√2)/2=3+2√2>0
W obu przypadkach wyszło nam a dodatnie (a miało być ujemne), więc nie możemy ich zaliczyć. pozostaje nam drugie równanie:
(1-2a+a²)/2a=-2
1-2a+a²=-4a
a²+2a+1=0   // ze wzoru skróconego mnożenia
(a+1)²=0
a=-1
Wynikiem tego równania jest ujemna wartość a - jedyna poprawna jaka nam wyszła, oznacza to że równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Jeszcze musimy policzyć b wykorzystując przynależność punktu (1,1) do prostej:
1=-1*1+b
b=1+1=2
Pełne równanie prostej:
y=-x+2