Question

Wyznacz pole trójkąta równoramiennego ABC o ramionach AC i BC w którym podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x a dwa wierzchołki mają współrzędne A=(0,0),C=(-3,4)

Answer 1

P = |AB|*|CS|/2
h = |CS| − odległość punktu C od prostej −2x + y = 0 (y = 2x)

h= |(−2)(−3)+1*4+0|/ √(−2)2+12 → h = 2√5

Znajdziemy współrzędne punktu S:
prosta CS: y = ax + b jest prostopadła do prostej y=2x czyli a = - ½

Punkt C należy do prostej CS czyli 4 = -½*(−3) + b → b = 5/2
pr.CS: y = -½x + 5/2
S∊pr.AB czyli yS = 2xS
S∊pr.CS czyli yS = −½xs + 5/2
Stąd xS = 1, yS = 2 czyli S = (1,2).

Ponieważ trójkąt jest równoramienny to punkt S jest środkiem odcinka AB (podstawy trójkąta)
czyli
xS = (xa+xb)/2 ys = (ya+yb)/2 (1)

Z (1) obliczamy współrzędne punktu B (współrzędne punktów A i S znamy):
xB = 2 i yB = 4

Obliczamy długość podstawy (odcinka AB):

|AB| = √(xB−xA)2 + (yB−yA)2)
|AB| = 2√5
P = ½(2√5*2√5) = 10