Question

Wyznacz dziezinę funkcji:

a)

b)

c)

Proszę o rozwiązanie choćby jednego przykładu

Answer 1

Dziedzina to zbiór x, dla których wyrażenia mają sens.

a) wyrażenie ma sens, jeśli pod pierwiastkiem znajduje się liczba nieujemna, czyli x^3 - x^2 + 2x >= 0.

x^3 - x^2 + 2x >= 0

x(x^2 - x + 2) >= 0

Żeby iloczyn x i (x^2 - x + 2) był nieujemny, oba czynniki muszą mieć taki sam znak. Sprawdzamy znaki (x^2 - x + 2):

delta = 1 - 4*1*2 = -7

Delta jest ujemna, czyli wykres (x^2 - x + 2) nie przecina osi x. Przy x^2 jest dodatni współczynnik, czyli wyrażenie (x^2 - x + 2) jest zawsze dodatnie. Oznacza to, że x musi być nieujemne, żeby iloczyn x(x^2 - x + 2) był nieujemny. Czyli dziedzina to wszystkie liczby nieujemne.

 

b) Wyrażenie ma sens, jeśli w mianownik ułamka pod pierw. jest różny od zera ORAZ nie pierwiastkujemy liczby ujemnej. Pierwszy warunek dyskwalifikuje x = 1 - na pewno nie należy do dziedziny. Ponadto, (4x - x^2) / (x-1) musi być nieujemne. Przekształcamy do postaci x(4-x)/(x-1) i szukamy na osi takich x, dla których wyrażenie jest nieujemne.

x jest ujemne dla x < 0

4-x jest ujemne dla x> 4

x-1 jest ujemne dla x < 1

Szukamy przedziałów, dla których żadne z tych wyrażeń nie jest ujemne, lub dla których dokładnie dwa z tych wyrażeń są ujemne. Te przedziały to (-nieskończoność, 0] oraz [1,4].

 

c) Nie możemy logarytmować liczb ujemnych oraz zera, nie możemy też w mianownikach mieć zer. Pierwszy warunek:

4-x > 0 i x-2>0

x<4 i x>2

 

Drugi warunek:

Żeby logarytm z liczby nie był zerem, liczba musi być różna od 1.

4-x jest różne 1

x jest różne 3

Zatem dziedzina to liczby rzeczywiste mniejsze od 4, większe od 2, z wyłączeniem 3, D = (2, 4) / {3}

 

Pozdrawiam :)