Question

Wyobraź sobie, że masz do dyspozycji 4900 sześcianów jednostkowych, z których budujesz
model graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Otrzymany model malujesz na
czerwono. Po wyschnięciu farby rozkładasz model na pojedyncze kostki. Wiedząc, że kostek
z czerwoną co najmniej jedna ścianką jest tyle, ile kostek w ogóle niepomalowanych podaj
wymiary oraz objętość zbudowanego wcześniej graniastosłupa.

Answer 1

4900 rozkładamy na czynniki pierwsze i mamy
4900 = 2*2*5*5*7*7
ponieważ mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny,
to w podstawie mamy kwadrat (pole kwadratu n² = n*n,
gdzie n liczba ułożonych sześcianów jednostkowych w rzędzie
i liczba rzędów),
natomiast liczby przez, które dzieli się 4900
(dzielniki liczby 4900), które są kwadratami liczb naturalnych to:
4 = 2², 25 = 5², 49 =7², 100 = (2*5)², 196 = (2*7)², 1225 = (5*7)²,
(2*5*7)² = 70² = 4900.
stąd n = {2,5,7,10,14,35,70}
n² = {4,25,49,100,196,1225,4900}
wiedząc ile jest ułożonych sześcianów jednostkowych
w jednej warstwie, można policzyć liczbę warstw (4900:n²):
4900:4 = 1225
4900:25 = 196
4900:49 = 100
4900:100 = 49
4900:196 = 25
4900:1225 = 4
4900:4900 = 1
Gdy pomalujemy ściany zewnętrzne, to liczba sześcianów jednostkowych niepomalowanych ma być równa liczbie kostek pomalowanych,czyli mamy po 2450.
Liczba sześcianów jednostkowych niepomalowanych to iloczyn
(n-2)²*(liczba warstw -2), gdzie n = {2,5,7,10,14,35,70}
czyli n-2 = {0,3,5,8,12,33,68}
Liczbę 2450 rozkładamy na czynniki pierwsze i mamy:
2450 = 2*5*5*7*7
każda z liczb: n-2 = {0,3,5,8,12,33,68} oprócz liczby 5, nie może być dzielnikiem liczby 2450, więc n-2 = 5, stąd n=7
W podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku 7 sześcianów jednostkowych (49 sześcianów to jedna warstwa),
a liczba warstw jest równa 100.
Spr.
Liczba wszystkich sześcianów jednostkowych
= n²* liczba warstw = 7²*100 = 49*100 = 4900
Liczba sześcianów niepomalowanych
(7-2)²*(100-2) = 5²*98 = 25*98 = 2450
Odp. Wymiary graniastosłupa 7,7,100, natomiast objętość
to liczba wszystkich sześcianów jednostkowych 4900.