Question

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Na bokach tego trójkąta zbudowano kwadraty, a następnie połączono zewnętrzne wierzchołki sąsiadujących kwadratów, w ten sposób otrzymano trzy trójkąty. Jaka jest zależność między polami zacieniowanych trójkątów.

Answer 1

(powiększ załączniki bo nie chciało mi się robić większych rysunków od nowa)
Mamy trójkąt 123 (zamiast normalnego ABC) odcinek 23 jest dwa razy dłuższy od 12. Ten trójkąt ma jakieś kąty.

Trójkąt w prawym dolnym jest najprostszy bo ma boki długości a i 2a więc ma pole a².

Kąty 132 i 136 tworzą kąt prosty. To samo robią kąty 136 i 634. skoro 136 sie powtarza to 634 i 132 są takie same. 213 musi być taki sam jak ten z dwoma kreskami bo 180-90-132=213. To że 132 jest taki jak 634 już udowodniliśmy więc ten z dwoma kreskami musi mieć miare jak 213. Wiec z właściwości Kąt-Kąt-Kąt te trójkąty są podobne, ale uwzględniając to że przeciwprostokątna w obu jest bokiem tego samego kwadratu więc maja taką samą skale, zatem są takie same. Skoro są takie same to wymiary zacieniowanego trójkąta na górze jest 2a (podstawa) i a (wysokość) wiec ten trójkąt ma pole a².

Podobnie robimy przy lewym dolnym tylko zwracamy uwagę na
kąty 213 i 154. Dalej tak samo, drugi kąt musi być taki sam jak w "podstawowym" trójkącie przeciwprostokątna pochodzi z tego samego kwadratu więc są to jednakowe trójkąty.
Zatem lewy dolny trójkąt ma podstawę a i wysokość 2a i jego pole ponownie wynosi a².

Odp. Wszystkie zacieniowane trójkąty mają jednakowe pole.