Question

Wykazać formalny dowód cechy podzielności liczby przez 7
dowód cechy podzielności liczby przez 8
dowód cechy podzielności liczby przez 11

Najlepiej za pomocą " a i b przystają modulo n (pozostają w kongruencji modulo n)"

Nie kopiować z Wikipedii!!!!!!!!!!!
Daję naj!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Dowód podzielności przez 11:
http://www.matematyka.pl/41854.htm


dowód podzielności przez 7:
"aby obliczyć resztę z dzielenia x przez 7, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 7"

wszystkie poniższe własności dowodzi się indukcyjnie, sprawdzasz dla k = 0, potem dla k + 1:
10^{6k} mod 7 = 1
10^{6k + 1} mod 7 = 3
10^{6k + 2} mod 7 = 2
10^{6k + 3} mod 7 = - 1
10^{6k + 4} mod 7 = - 3
10^{6k + 5} mod 7 = - 2

ponieważ branie modulo jest działaniem rozdzielnym względem dodawania:
a mod b + c mod b = (db + e) mod b + (fb + g) mod b = d + f = [(d + f)b + (e + g)] mod b = [(db + e) + (fb + g)] mod b = (a + c) mod b

można naszą liczbę rozłożyć na:
x = a₀ + a₁*10 + ... + an*10^{n}
x ≡ a₀*1 + a₁*3 + a₂*2 + a₃*(-1) + a₄*(-3) + a₅*(-2) + a₆*1 + ... + an*m (mod 7)


dowód cechy podzielności przez 8
źródło: "http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node54.html"
"Dana liczba dzieli się przez 8, jeśli trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę trzycyfrową podzielną przez 8."

Stwierdzenie jest oczywiste jeżeli zauważymy, że:
1000 = 8*125
a*1000 = 8*(a*125)
czyli, każda liczba postaci coś, a na końcu 3 zera jest przez 8 podzielna, teraz wystarczy pokazać, że branie modulo jest działaniem rozdzielnym względem dodawania:
a mod b + c mod b = (db + e) mod b + (fb + g) mod b = d + f = [(d + f)b + (e + g)] mod b = [(db + e) + (fb + g)] mod b = (a + c) mod b
czyli każdą liczbę można zapisać w postaci:
a*1000 + b
gdzie a - dowolna liczba całkowita nieujemna, b - liczba całkowita nieujemna < 1000
ponieważ mamy 100 = 8*125 i rozdzielność brania modulo względem dodawania dowód jest zakończony

jak masz pytania to pisz na pw