Question

Wykaż, ze w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przyprostokątnej jest równy iloczynowi długości przeciwprostokątnej przez długość rzutu prostokątnego tej przyprostokątnej na przeciwprostokątną

Answer 1

Założenia:
|< CAB| = 90
|< CDA| = 90
rysunek

teza:
|AC| = (|DB| + |CD|)*|DB|

dowód:
z tw. Pitagorasa:
(|CD| + |DB|)² = |CA|² + |AB|²
|CA|² = |DA|² + |CD|²
|AB|² = |DA|² + |DB|²

od drugiego równania odejmujemy stronami pierwsze:
|CA|² - |AB|² = |CD|² - |DB|²

a teraz odejmiemy stronami to co otrzymaliśmy od pierwszego równania:
(|CD| + |DB|)² = |CA|² + |AB|²
|CD|² - |DB|² = |CA|² - |AB|²

(|CD| + |DB|)² - |CD|² + |DB|² = 2|AB|²
|CD|² + |DB|² + 2|CD|*|DB| - |CD|² + |DB|² = 2|AB|²
2|DB|² + 2|CD|*|DB| = 2|AB|²
|DB|² + |CD|*|DB| = |AB|²
|DB|*(|DB| + |CD|) = |AB|²

|AB|² = |DB|*(|DB| + |CD|) co było do udowonienia

Answer 2

Jak widać na rysunku trójkąty ABC i ACD są podobne.
Stąd zależność:
b/c = x/b mnożymy obustronnie przez c*b
b² = xc

co kończy dowód.