Question

Jeden z boków prostokąta ma długość 1. Wyznacz długość drugiego boku tego prostokąta, jeśli proste poprowadzone z przeciwległych wierzchołków prostopadłe do przekątnej dzielą ją na trzy równe części.

Answer 1

|CB| = 1
|DF| = |FE| = |EB| = a
|EC| = b
|DC| = c

Z podobieństwa trójkąta BEC i trójkąta DCB mamy:
a/1 = b/c
b = ac

Z tw. Pitagorasa dla DEC:
(2a)² + b² = c²
(2a)² + (ac)² = c²
4a² + a²c² = c²

Z tw. Pitagorasa dla CEB:
a² + b² = 1²
a² + (ac)² = 1
a² + a²c² = 1
a²(1 + c²) = 1
a² = 1/(1 + c²)

Wstawiamy a² do poprzedniego równania:
4a² + a²c² = c²
4/(1 + c²) + c²/(1 + c²) = c²
4 + c² = c²(1 + c²)
4 + c² = c⁴ + c²
4 = c⁴
c = √2 (nie -√2, bo to geometria)

długość drugiego boku to √2