Wykaż że nie istnieje parametr m taki, że funkcja okreslona wzorem Zadanie 9, dziękuje!.... Question from @FHA

December 2018 1 44 Report

Wykaż że nie istnieje parametr m taki, że funkcja okreslona wzorem
Zadanie 9, dziękuje!

animaldk Aby dana funkcja była wielomianem drugiego stopnia to pierwsza część funkcji musi redukować się do trójmianu kwadratowego i przyjmować wartość taką samą dla x = 4 jak dla drugiej części.
Aby pierwsza część mogła się zredukować, to rozkładając wielomian w liczniku na czynniki musimy otrzymać czynnik (x-4).
Zatem jednym z pierwiastków ego wielomianu musi być liczba 4, a co za tym idzie, wartość tego wielomianu dla x=4 wynosi 0.
Znajdujemy wartość m, dla którego to zachodzi.

$w(x)=x^3-mx^2+x+12\\\\w(4)=4^3-4^2m+4+12=64-16m+16=80-16m\\\\w(x)=0\iff80-16m=0\\\\16m=80\ \ \ \ /:16\\\\m=5$

Zatem wielomian w liczniku przyjmuje postać:

$w(x)=x^3-5x^2+x+12$

Podzielmy wielomian w(x)przez dwumian (x-4):

$\begin{array}{lll}
(x^3-5x^2+x+12) : (x-4) = x^2-x-3 \\\underline{-x^3 +4 x^2} & & \\
\qquad -x^2 + x +12 & & \\
\qquad \ \ \underline{x^2 - 4x} & &\\\qquad \qquad -3x+12 & & \\
\qquad \qquad \quad \underline{3x-12} & & \\\qquad \qquad \quad =\ \ \ \ = & &
\end{array}$

Zatem po skróceniu licznika z mianownikiem otrzymamy trójmian kwadratowy:
$p(x)=x^2-x-3$

Obliczmy jego wartość dla x=4:

$p(4)=4^2-4-3=16-7=9$

A wartość funkcji dla x=4 wynosi m=5.
Wartości są różne.

WNIOSEK:
Nie istnieje takie m, dla którego funkcja f(x) jest wielomianem drugiego stopnia.

2 votes Thanks 3