Question

Wykaż, że liczba 1 nie jest granicą ciągu określonego wzorem an =

Answer 1

Rozważamy ciąg, więc:

n∈N₊

 

Zauważmy najpierw, że:

n>0 ,zatem także:

n+1>0

 

Stąd wyrażenie w mianowniku przyjmuje zawsze wartość dodatnią.

 

Zaś znak wyrażenia w liczniku zależy od wartości n, stąd też znak całego wyrażenia.

 

Gdy:

n=2k ,gdzie k∈N₊

dany wyraz ciągu jest dodatni.

 

Gdy:

n=2m+1 ,gdzie m∈N

dany wyraz jest ujemny.

 

Można zatem powiedzieć, że połowa wyrazów tego ciągu jest dodatnia, a połowa ujemna.

Ponadto:

Jeżeli a(n) ma wartość dodatnią, to a(n+1) ujemną.

 

Ciąg który się tak zachowuje nie może mieć granicy równej liczbie dodatniej lub ujemnej, a w szególności nie może mieć granicy równej 1.