Question

Wykaż, że jedynymi rozwiązaniem równania
x5 - 2x4 + 2x3 - 2x2 + 2x -1 = 0 jest liczba 1.

Answer 1

no to dzielisz wielomian przez 1 <najlepiej hornerem>

Po podzieleniu wychodzi Ci:

(x-1)(x4 - x3 +x2 -x +1) = 0

Tutaj powołując się na twierdzenia o dzielnikach wyrazu wolnego można stwierdzić, ze długi nawias nie dzieli się przez nic Rzeczywistego. Ale co z pierwiastkami. W tym przypadku musisz dokonać takiego zabiegu <będę rozwijał tylko długi nawias>

x4 - x3 +x2 -x +1 = 0

x3 (x-1) + x(x-1) +1 = 0

(x-1) (x3 + x) + 1 = 0

x(x-1)(x2 + 1) + 1 = 0

(x2 - x) (x2 + 1) +1 = 0

I teraz dedukcja. Tutaj na dole z pierwszego nawiasu kwadrat każdej liczby większej od 1 i mniejszej od -1 jest liczbą dodatnią. Z drugiego nawiasu każda liczba jest liczbą dodatnia <bo sam kwadrat jest większy od zera a jak masz jeszcze 1 to już w ogóle>

Może być też ułamek, ale jakiego ułamka nie podstawisz to +1 poza każdym nawiasem sprawia że wyrażenie jest > od zera.

Zatem Udowodniliśmy, że rozwiązaniem równania: (x-1)(x4 - x3 +x2 -x +1)=0 jest jedynie 1 bo z długiego nawiasu nic nie równa się 0 :)