Question

Wykaż, że dla każdej liczby n należącej do naturalnych wyrażenie n^{3}-n jest podzielne przez 6.

Answer 1

n^3 - n =

= n(n^2 - 1)= wyciągamy n przed nawias

= n(n + 1)(n - 1) wzór skróconego mnożenia: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

Liczby n-1, n, n+1 to trzy kolejne liczby naturalne. Zawsze jedna z nich będzie podzielna przez 3 i co najmniej jedna przez 2. Żeby liczba była podzielna przez 6, musi dzielić się przez 2 i 3. Iloczyn n(n-1)(n+1) dzieli się przez 2 i 3, dlatego jest podzielny przez 6.