Question

1.Niech x+y=12 i x kwadrat + y kwadrat= 126. Oblicz wartość wyrażenia x*y.
2.Jeden z boków prostokąta jest o 2 cm krótszy, a drugi o 2 cm dłuższy od pewnego boku kwadratu. Który z czworokątów ma większe pole i o ile?
3. Wykaż, że jeśli od iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych odejmiemy trzykrotność mniejszej z nich, to otrzymamy kwadrat liczby o jeden mniejszej od mniejszej z tych liczb pomniejszony o jeden.
4.Liczby a i b przy dzieleniu przez 4 dają tę samą resztę równą 1. Uzasadnij, że różnica kwadratów liczb a i b jest podzielna przez 4.

Answer 1

Z.1
x+y = 12 --> x =12 -y
x^2 + y^2 = 126 ---> y^2 = 126 -x^2 , czyli y = pierw. kw.
z (126 - x^2)
x*y =(12 - y)* pierw. kw. z (126 - x^2)
z.2
a,b - długości boków prostokąta
c - długość boku kwadratu
Mamy a = c +2 oraz b = c -2
P1 - pole kwadratu
P1 = c *c =c^2
P2 - pole prostokąta
P2 =a*b =(c +2)*(c-2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4
Większe pole ma kwadrat.Jest ono większe od pola prostokata
o 4 cm^2.
z.3
Niech
x, x+1 - oznaczają dowolne kolejne liczby całkowite.
Mamy
x*(x +1) - 3*x =(x-1)^2 - 1
L = x^2 +x - 3*x = x^2 - 2*x
P = (x^2 -2*x + 1) - 1 = x^2 -2*x , czyli L = P co kończy dowód.
z.4
Niech a, b będą dowolnymi takimi liczbami .
Mamy
a = 4*k + 1
b =4*t + 1
a^2 - b^2 =(4*k +1)^2 - (4*t + 1)^2 =( 16*k^2 +8*k +1) -
- (16*t^2 + 8*t + 1) = 4*(4*k^2 +2*k -4*t^2 +2*t) , co kończy
dowód.