Question

Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego  prawdziwa jest
nierówność tg2α + ctg2α≥ 2.

Answer 1

Tg2α + ctg2α=
sin2a/cos2a+cos2a/sin2a= /sprowadzamy do wspólnego mianowika
(sin2a*sin2a+cos2a*cos2a)/cos2a*sin2a=

w liczniku otrzymujemy jedynkę trygonometryczną więc

1/cos2a*sin2a - z tożsamości sin2a*cos2a=(sin4a)/2 więc

1/(sin4a)/2 = 2/(sin4a)

Kąt ostry zawiera się w przedziale (0st;90st) więc sin tego kąta zawiera się w zakresie (0;1).
Całe wyrażenie 2/(sin4a) Jest większe od 2, bo dzielimy 2 przez liczbę mniejszą od 1.

Jeśli lewa strona jest większa od 2 to równanie jest prawdziwe.