Witam, prosze o pomoc z ciągów. Proszę o rozwiązania z podaniem wzorów i szczegółami. Pozdrawiam1. W.... Question from @nowy678

November 2018 1 19 Report

Witam, prosze o pomoc z ciągów. Proszę o rozwiązania z podaniem wzorów i szczegółami. Pozdrawiam

1. Wyznacz wyraz ogólny ciągu (an), którego suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

a) Sn = 4(2n-1)

b) Sn = 4n^2

c) Sn = n^2 + 7n

2. Liczbę 210 podziel na siedem składników tak, aby tworzyły one malejący ciąg arytmetyczny i największy z nich był trzy razy większy od najmniejszego składnika.

3. Szósty wyraz ciągu arytemtycznego jest równy zeru. Oblicz S11

4. Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego róznica wynosi 5 stopni. Najmniejszy kąt ma miarę 120 stopni. Wyznacz liczbę boków wielokąta.

Roma

Zad. 1

$a_1 = S_1 \\\ a_n = S_n - S_{n-1} \ dla \ n \geq 2$

$S_n = 4(2n-1) = 8n - 4 \\\ S_{n-1} = 8 \cdot (n-1) - 4 = 8n - 8 - 4 = 8n - 12 \\\\ a_1 = S_1= 8 \cdot 1 - 4 = 8-4 = 4 \\\ a_n = (8n - 4) - (8n - 12) = 8n - 4 - 8n + 12 = 8 \\\\ Zatem: \\\ a_1 = 4 \\\ a_n = 8, \ dla \ n \geq 2$

b)
$S_n = 4n^2\\\ S_{n-1} = 4 \cdot (n-1)^2 = 4 \cdot (n^2 - 2n + 1) = 4n^2 - 8n + 4\\\\ a_1 = S_1= 4 \cdot 1^2 = 4 \\\ a_n = 4n^2 - (4n^2 - 8n + 4) = 4n^2 - 4n^2 + 8n - 4 = 8n - 4 \\\\ Zatem: \\\ a_1 = 4 \\\ a_n = 8n - 4, \ dla \ n \geq 2$

$S_n = n^2 + 7n \\\ S_{n-1} = (n-1)^2 +7 \cdot (n - 1)= n^2 - 2n + 1+ 7n - 7 = \\\ = n^2 +5 n - 6\\\\ a_1 = S_1= 1^2 + 7 \cdot 1 = 1 + 7= 8 \\\ a_n = (n^2 + 7n) - (n^2 +5 n - 6) = n^2 + 7n-n^2 -5 n+ 6 = \\\ = 2n + 6 \\\\ Zatem: \\\ a_1 = 8 \\\ a_n = 2n + 6, \ dla \ n \geq 2$

Zad. 2

a₁, a₂ , a₃, a₄ , a₅, a₆ , a₇ - ciąg arytmetyczny

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = 210, czyli S₇ = 210

Dany ciąg ma być malejący, czyli największy składnik to a₁, a najmiejszy składnik to a₇.

Największy skladnik ma być trzy razy większy od najmniejszego składnika, zatem:

a₁ = 3·a₇

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\\\ S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7 \\\\ a_1 = 3 \cdot a_7 \ i \ S_7 = 210 \\\\ \frac{3a_7 + a_7}{2} \cdot 7 = 210 \ /:7 \\\\ \frac{4a_7}{2} = 30 \ / \cdot 2 \\\\ 4a_7 = 60 \ /:4 \\\\ a_7 = 15 \\\\ a_1 = 3 \cdot a_7 = 3 \cdot 15 = 45$

Ciąg jest arytmetyczny, więc:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r, \ gdzie \ r \ to \ r\'o\.znica$

Zatem:

$a_7 = 15 \\\ a_7 = 45 + (7 - 1) \cdot r = 45 + 6r \\\\ 45 + 6r = 15 \\\ 6r = 15 - 45 \\\ 6r = - 30 /:6 \\\ r = - 5$

Stąd:

$a_n = 45 + (n - 1) \cdot (-5) = 45 - 5n + 5 = 50 - 5n \\\\ Zatem: \\\ a_1 = 50 - 5 \cdot 1 = 50 - 5 = 45 \\\ a_2 = 50 - 5 \cdot 2 = 50 - 10 = 40 \\\ a_3 = 50 - 5 \cdot 3 = 50 - 15 = 35 \\\ a_4 = 50 - 5 \cdot 4 = 50 - 20 = 30 \\\ a_5 = 50 - 5 \cdot 5 = 50 - 25 = 25 \\\ a_6 = 50 - 5 \cdot 6 = 50 - 30 = 20\\\ a_7 = 50 - 5 \cdot 7 = 50 - 35 = 15$

Szukany ciąg arytmetyczny to: 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15

Spr.

45 + 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 = 210

45 = 3·15

Odp. szukane składniki to: 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15.

Zad. 3

(an) - ciąg artmetyczny

a₆ = 0

Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

a₆ = 0

a₆ = a₅ + r

a₅ = a₆ - r

Zatem:

a₅ = 0 - r = - r

a₄ = a₅ - r = - r - r = 0 - 2r = - 2r

a₃ = a₄ - r = - 2r - r = - 3r

a₂ = a₃ - r = - r - r = - 4r

a₁ = a₂ -r = - 4r - r = - 5r

Z kolei:

a₇ = a₆ + r = 0 + r = r

a₈ = a₇ + r = r + r = 2r

a₉ = a₈ + r = 2r + r = 3r

a₁₀ = a₉ + r = 3r + r = 4r

a₁₁ = a₁₀ + r = 4r + r = 5r

Stąd:

S₁₁ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ = (-5r) + (-4r) + (-3r) + (-2r) + (-r) + 0 + r + 2r + 3r + 4r + 5r = 0

Odp. S₁₁ = 0

Zad. 4

a₁, a₂, a₃, ... an - miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego

a₁, a₂, a₃, ... an - ciąg arytmetyczny o różnicy r = 5°

a₁ = 120°

Ciąg jest arytmetyczny, więc

$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot r \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Zatem:

$a_n = 120 + (n- 1) \cdot 5 = 120 + 5n - 5 = 115 + 5n \\\\ S_n = \frac{120 + 115 + 5n}{2} \cdot n = \frac{(235 + 5n) \cdot n}{2} = \frac{235n + 5n^2}{2}$

Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wyraża się wzorem: (n - 2) · 180°, więc

$S_n = (n - 2) \cdot 180 = 180n - 360$

Stąd:

$\frac{235n + 5n^2}{2} = 180n - 360 \ / \cdot 2 \\\ 235n + 5n^2 = 360n - 720 \\\ 235n + 5n^2 - 360n + 720 = 0 \\\ 5n^2- 125n+720 = 0 \ /:5 \\\ n^2 -25n + 144 = 0 \\\ \Delta = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \\\\ n_1 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25-7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \\\\ n_2 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25+7}{2} = \frac{32}{2} = 16$