WITAM. PROSZE BARDZO O ROZWIĄZANIA (daje naj ;)) )
1. Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
2. Obwód prostokąta jest równy 44 cm zaś długości jego boków różnią się o 2 cm. Oblicz pole prostokąta.
3. Pole trapezu równoramiennego jest równe 36 cm^2 , a jego podstawy mają długości 6cm i 12cm. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu.
4. W równoległoboku o bokach 5cm i 12cm poprowadzono dwusieczną kąta rozwartego o mierze 120 stopni. Podaj długości odcinków na jakie podzieliła ona bok równoległoboku.
5. Z wierzchołka C kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono wysokość h na przeciwprostokątną AB. Spodek wysokości D podzielił przeciwprostokątną na odcinki p i q. Wykaż, że długość wysokości h jest średnią geometryczną długości odcinków p i q czyli h = pierwiastek z pq.
6. W równoległoboku w którym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego kąt ostry ma miarę 60 stopni a dłuższa przekątna ma długość 4 pierwiastek z 3 cm:
a) Oblicz długości boków równoległoboku
b) Oblicz długość wysokości równoległoboku poprowadzonej na dłuższy bok
c) Oblicz objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół dłuższego boku.
7. Dane są dwa okręgi współśrodkowe o różnych promieniach. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego okręgu ma długość 12 cm. Oblicz pole pierścienia kołowego utworzonego przez te okręgi (Pierścień kołowy to część płaszczyzny ograniczona dwoma okręgami).
8. W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12. Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta.
9. Siatka o długości 300 m stanowi ogrodzenie działki w kształcie prostokąta. Jakie są wymiary tej działki jeśli wiadomo że ma ona największe z możliwych pole powierzchni.
PROSZE O POPRAWNE ROZWIĄZANIA WRAZ Z RYSUNKAMI NA DZIŚ
Rysunki w załacznikach :)
Zad 1
a2+a2= (2r)2
2a2= 102
2a2= 100 / : obustronnie podzielić przez 2
a2= 50
a = pierwiastek z (25*2) àwszystko pod pierwiastkiem
a= 5√2
To jest trójkat prostokatny rónoramienny dlatego:
P = a * h ale bok a jest równy wysokości czyli h i dlatego a * a = a2
P= ½a2
P = ½*50
P = 25 cm2
Ob= 10+ 5√2+5√2= 10+10√2= 10(1+√2) cm
Zad 2
a= 1 bok prostokata
a+2=drugi bok
44 cm-- obwód
wzór na pole prostokata to L= 2a +2b
gdzie unas bok b= a+2
2a+2(a+2)=44cm
2a+2a+4=44
4a=44-4
4a=40
a=40:4
a=10cm
a+2=10+2=12cm
P=10×12
P=120cm²
Zad 3 w załaczniku
Zad 4
Równoległobok ABCD. . Dwusieczna tego kąta przecina bok AB w punkcie E.
czyli trójkąt ADE jest równoboczny, czyli |AE|=5cm,
ten zaznaczony x na rysunku to |EB|=7cm. bo jesli od dlugości boku = 12 odejmiemy bok trójkata równobocznego 5 to wtedy 12 -5 = 7
Zad 5 w załaczniku
Zad 6
W równoległoboku w którym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego , kąt ostry ma miarę 60 stopni , a dłuższa przekątna ma długość 4√3
a) oblicz długość boków
x;2x-boki równoległoboku
wysokość odcina nam trójkąt o bokach: x;1/2x;h=1/2x√3
d=4√3
(2x+1/2x)²+(1/2x√3)²=(4√3)²
6,25x²+0,75x²=48
7x²=48
x²=48/7
x=√48/7
x=4√3/√7
x=4√21/7
2x=8√21/7
b) długość wysokości rownolegloboku poprowadzonej na dłuzszy bok.
h=1/2x√3
h=1/2*4√21/7 *√3
h=2√3*√7/7 *√3
h=6√7/7
c)objętość bryly otrzymanej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół dłuzszego boku.
V=Vwalca o wysokości równej 2x i promieniu równym h
V=π(6√7/7 )²*8√21/7
V=π(36/7 )*8√21/7
V=288√21π /49
Zad 7
12 to długość cięciwy
Szukane pole: od pola dużego kola trzeba odjąć pole małego koła i wtedy będzie pole szukanego
P = πR2 − πr2 = π(R2 − r2)
z twierdzenia pitagorasa: 62 + r2 = R2
R2−r2= 36 to P( pierścienia)= π*36= 36 π
Zad 8
a − r = 12
b − r = 5 / obustonnie mnożymy przez -1 i dodajemy stronami... rozwiązujemy układ równań tak żeby pozbyć sie r
a − b = 7
a2 + b2 = 172
a − b = 7 ⇒ a = 7 + b
(7 + b)2 + b2 = 289
49 + 14b + 2b2 = 289
2b2 + 14b − 240 = 0
b2 + 7b − 120 = 0
Δ = 529 √Δ = 23
−7 + 23 b1 = = 8 2
b2 < 0 więc odrzucamy Odp: b = 8 a = 7 + 8 = 15
Zad 9 x, y −−− wymiary działki
x,y >0
Ob= 2x+2y => 2x+2y= 300 => x+y=150 => y = 150 −x , x€ (0,150)
P= x*y
P(x) = x*( 150−x) = −x2+150x −−−− to jest funkcja kwadratowa parabola ramionami skierowana w dół czyli osiąga największą wartość ( największe pole)
−b −150 dla x = = = 75 2a −1*2
to y= 150−x= 150 −75= 75 czyli wymiary takiej działki są x= 75m i y= 75m taka działka jest w kształcie kwadratu o wymiarach: 75m na 75m