Witam mam takie zadanie Obliczyć pochodne CZĄSTKOWE do drugiego rzędu włącznie proszę o rozwiązanie.... Question from @Deloper69

December 2018 1 32 Report

Witam mam takie zadanie Obliczyć pochodne CZĄSTKOWE do drugiego rzędu włącznie

proszę o rozwiązanie
zadanie w załączniku oczywiście

pozdrawiam

Paawełek Wystarczy policzyć pochodne po "x". Oznacza to, że "y" należy traktować jako stałą.
c):
$\frac{\partial}{\partial x} x^{2}(x+2y)^{20} =2x(x+2y)^{20}+x^{2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+2y)^{20}$
Ponieważ pochodna x+2y wynosi 1 Można od razu zapisać że wynik to;
$2x(x+2y)^{20}+20x^{2}(x+2y)^{19}=(20x^{2}+2x^{2}+4xy)(x+2y)^{19}= \\ =(22x^{2}+4xy)(x+2y)^{19} \\ \\ \hbox{Druga pochodna:} \\ \frac{\partial}{\partial^{2}x}=(44x+4y)(x+2y)^{19}+19(22x^{2}+4xy)(x+2y)^{18}= \\ = (x+2y)^{18}((44x+4y)(x+2y)+19(22x^{2}+4xy))$
Po wyliczeniu tego co masz w nawiasie otrzymasz ostatecznie:
$\frac{\partial}{\partial^{2}x}=2(231x^{2}+84xy+4y^{2})(x+2y)^{18}$

d)
$\frac{\partial}{\partial x}e^{3xy}+\ln (xy)=\frac{\partial}{\partial x} (e^{3xy}+\ln x+\ln y)=\frac{\partial}{\partial x} (3xy) \cdot e^{3xy}+\frac{1}{x}= \\= \boxed{3ye^{3xy}+\frac{1}{x}}$
Opuściłem ln y ponieważ jest to stała.
Druga pochodna:
$\frac{\partial}{\partial x}3ye^{3xy}+\frac{1}{x}=\frac{\partial}{\partial x} (3xy) \cdot 3ye^{3xy}-\frac{1}{x^{2}}=\boxed{9y^{2}e^{3xy}-\frac{1}{x^{2}}}$

e)
$\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^{2}y}+\ln(x-y^{3}))=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) \cdot e^{x^{2}y}+\frac{1}{x-y^{3}}= \boxed{2yxe^{x^{2}y}+\frac{1}{x-y^{3}}}$

pochodna ln(x-y^3) wynosi tyle, ponieważ pochodna samej podstawy logarytmu naturalnego wynosi 1.
Pochodna rzędu drugiego:

$\frac{\partial}{\partial x} (2yxe^{x^{2}y}+\frac{1}{x-y^{3}})= \\ = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) \cdot 2xy \cdot e^{x^{2}y}+2ye^{x^{2}y}+\frac{\partial}{\partial x}(x-y^{3})^{-1}= \\ = (4x^{2}y^{2}+2y)e^{x^{2}y}-(x-y^{3})^{-2}=\boxed{2y(2x^{2}y+1)e^{x^{2}y}-\frac{1}{(x-y^{3})^{2}}}$

W razie pytań - pytaj :)

Gdybyś jednak liczyła pochodne po "y". To traktujesz "x" jako stałą:
c)
$\frac{\partial}{\partial y}x^{2}(x+2y)^{20}=20x^{2}(x+2y)^{19} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x+2y)=\boxed{40x^{2}(x+2y)^{19}}$
Pochodna drugiego rzędu:
$\frac{\partial}{\partial y}40x^{2}(x+2y)^{19}=40 \cdot 19 \cdot 2x^{2}(x+2y)^{18}=\boxed{1520x^{2}(x+2y)^{18}}$
d)
$\frac{\partial}{\partial y} e^{3xy}+\ln(xy)=\frac{\partial}{\partial y}(3xy) \cdot e^{3xy}+\frac{\partial}{\partial y} \ln y + \frac{\partial}{\partial y} \ln x= \\ = \boxed{3xe^{3xy}+\frac{1}{y}}$
Druga pochodna:
$\frac{\partial}{\partial y} (3xe^{3xy}+\frac{1}{y})=\frac{\partial}{\partial y}(3xy) \cdot 3xe^{3xy}-\frac{1}{y^{2}}=\boxed{9x^{2}e^{3xy}-\frac{1}{y^{2}}}$
e)

$\frac{\partial}{\partial y} e^{x^{2}y}+\ln(x-y^{3})=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)e^{x^{2}y}+\frac{\frac{\partial}{\partial y}(x-y^{3})}{x-y^{3}}= \\ = \boxed{x^{2}e^{x^{2}y}-\frac{3y^{2}}{x-y^{3}}}$

Druga pochodna:
$\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}e^{x^{2}y}-\frac{3y^{2}}{x-y^{3}})=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) \cdot x^{2}e^{x^{2}y}-\frac{\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})(x-y^{3})-\frac{\partial}{\partial y}(x-y^{3})3y^{2}}{(x-y^{3})^{2}}=\\ = x^{4}e^{x^{2}y} - \frac{6y(x-y^{3})+9y^{4}}{(x-y^{3})^{2}}=\boxed{x^{4}e^{x^{2}y}-\frac{3y^{4}+6xy}{(x-y^{3})^{2}}}$

2 votes Thanks 1