Question

Witam, bardzo proszę o pomoc w tych dwóch zadaniach:

1. Dane są liczby wymierne a oraz ab+b. Wykaż, że b jest wymierne.

2.Wiadomo, że a-b oraz są liczbami wymiernymi. Czy z tego wynika, że a jest liczbą wymierną?

Answer 1

1.

a- wymierna

ab+b -wymierna

ab+b=b(a+1)

skoro a wymierna to a+1 tez wymierna

iloczyn dwoch liczb wymierny⇒dwie wymierne lub dwie niewymierne lub 0 i liczba niewymierna

ab+b=b(a+1)-wymierna

jedna z nich (a+1) wymierna to i druga wymierna ⇒ b∈ W  cnu

 

jezeli a+1 wymierna i a+1=0 => a= -1∈W  to ab+b=b(a+1)=b·0=0 b∈R

zatem dla a= -1 b moze byc liczba niewymierna

np a= -1  b=√2

ab+b=b(a+1)=√2·0=0∈W

 

2.

a-b - wymierna

a² - b² - wymierna

a² - b²=(a-b)(a+b)

iloczyn dwoch liczb wymierny⇒dwie wymierne lub dwie niewymierne lub 0 i liczba niewymierna

skoro a-b wymierna to i a+b wymierna

suma dwoch liczb wymiernych jest wymierna

W∋(a-b)+(a+b)= a-b+a+b= 2a

2a∈W ⇒  a∈W

 

jeżeli

W∋a-b=0 ⇒ a=b

jezeli np

a=√2   b=√2

to a-b=0∈W

a² - b²=√2² - √2²=0∈W

a∈NW

a∈R