Question

Niech punkty E,F,G,H będą środkami odpowiednio boków AB, BC, CD, DA czworokąta wypukłego ABCD, w którym AD=BC. Dwusieczne kątów w czworokącie EFGH, przekątne czworokąta ABCD i dwusieczna kąta DAB przecinają się w punkcie N. Udowodnij, że czworokąt ABCD jest kwadratem.

Answer 1

Ponieważ E, F, G, H to środki boków czworokąta ABCD, to czworokąt EFGH musi być równoległobokiem (EF i GH są równoległe do przekątnej AC i równe jej połowie, FG i HE są równoległe do przekątnej BD i równe jej połowie).

 

Skoro dwusieczne kątów czworokąta EFGH przecinają się w jednym punkcie, to w czworokąt ten można wpisać okrąg- wniosek- czworokąt EFGH jest rombem i N jest środkiem jego przekątnych.

 

Przekątne czworokąta ABCD są więc równe (każda z nich to 2 razy długość boku EFGH).

Ponieważ przekątne ABCD przecinają się w punkcie N, więc N jest też środkiem przkątnych AC i BD. Wniosek- czworokąt ABCD jest prostokątem (równe i dzielące się na połowy przekątne).

 

Ponieważ dodatkowo przekątna AC jest dwusieczną kąta DAB, więc prostokąt ABCD musi być kwadratem.