Question

Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty: A=(4,1), B=(7,5), C=(0,4). Sprawdź czy trójkąt ma oś symetrii. Jeżeli tak, to napisz równanie tej osi.

Answer 1

A =(4; 1) , B =(7; 5), C =(0;4)
Sprawdzam, czy Δ ABC jest równoramienny?
-->
AB = [7-4; 5 -1] = [3 ; 4]
I AB I² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
I AB I = √25 = 5
-->
AC = [0 - 4; 4 - 1] = [ -4; 3 ]
I AC I² = (-4)² + 3² = 16 + 9 = 25
I AC I = √25 = 5
Mamy zatem I AB I = I AC I, czyli Δ ABC jest równoramienny.
Sprawdzam czy Δ ABC nie jest czasem równoboczny?
-->
BC = [0 -7 ; 4 - 5] = [ -7 ; -1]
I BC I² = (-7)² + (-1)² = 49 + 1 = 50 = 25*2
I BC I = √25*√2 = 5√2
Zatem Δ ABC jest prostokątny, bo I BC I = I AB I*√2
Nie S będzie środkiem boku BC
S = ( (7+0)/2 ; (5+4)) = ( 3,5 ; 4,5 )
Prosta AS jest osią symetrii Δ ABC
y = a x + b
mamy
1 = 4*a + b
4,5 = 3,5 *a + b
---------------------
4,5 - 1 = 3,5*a - 4*a
3,5 = -0,5 *a
a = 3,5 : (-0,5) = - 7
b = 1 - 4*a = 1 - 4*(-7) = 1 + 28 = 29
Odp. Prosta o równaniu y = -7 x + 29 jest osią symetrii
Δ ABC.