Question

Wiedząc, że r=2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x⁴+2x³-7x²-8x+12 znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Answer 1

Dzielimy wielomian W(x) przez P(x)= x-2 (dowolną metodą), otrzymujemy wynik Q(x)=x³+4x²+x-6 z tego wiadać że można zapisać W(x) jako (x-2)(x³+4x²+x-6), można zauważyć że Q(x)=x³+4x²+x-6 jest podzielne przez x-1, więc po dalszym podzieleniu otrzymamy nasz wielomian w postaci W(x)=(x-1)(x-2)(x²+5x+6) = (x-1)(x-2)(x+2)(x+3) [rozłożyłem wielomian z wzorów vieta]. z tak rozłożonego wielomianu widać że pozostałe rozwiązania to 1,2,-2 i -3 (xε{-3,-2,1,2}). Czy pasuje taka forma rozwiązania, czy zamieścić i obliczenia i formę "do przepisania"?

Answer 2

(x-2) | (dzieli) W(x)

W(x) jest wielomianem 4 stopnia, więc może mieć co najwyżej 4 pierwiastki

stosujemy teraz schemat Hornera, otrzymujemy po tym
W(x)=(x-2)(x³+4x²+x-6)
Następnie szukamy pierwiastka korzystajac z twierdzenia o pierwiastkach trójmianu o współczynnikach całkowitych jeżeli dobrze wyliczymy to takim pierwiastkiem jest 1 i znowu dzielimy wielomian x³+4x²+x-6 schematem Hornera.

W(x)=(x-2)(x-1)(x²+5x+6)
Sprawdzamy delte w równaniu kwadratowym.
Δ=25-24=1
√Δ=1
x₁=(-5-1)/2=-6/2=-3
x₂=(-5+1)/2=-4/2=-2

W(x)=(x-2)(x+2)(x+3)(x-1)

Odp.: Pierwiastkami wielomianu są liczby: -3, -2, 1, 2.