Question

Wiedzac, ze do wykresu funkcji f(x)=ax²+bx+c naleza punkty A=(1,-5) B=(2,0) C=(3,7) wyznacz wspolczynniki a,b,c.Podaj zbior wartosci funkcji oraz przedzialy oraz monotonicznosc

Answer 1

Funkcja o wzorku ogólnym y=ax²+bx+c
przechodzi przez A(1,-5), B(2,0), C(3,7)

każde współrzędne punktu podstawiamy do wzoru ogólnego, dostajemy 3 równanka z 3 niewiadomymi (a,b,c), łączymy klamerką:

-5=a*1²+b*1+c
0=a*2²+b*2+c
7=a*3²+b*3+c

-5=a+b+c
0=4a+2b+c
7=9a+3b+c

z drugiego równania wyznaczam c ---> c=-4a-2b i podstawiam do dwóch pozostałych

-5=a+b-4a-2b
7=9a+3b-4a-2b

-5=-3a-b
7=5a+b

z pierwszego wyznaczam b ------> b=-3a+5 i podstawiam do drugiego
7=5a-3a+5
2=2a
a=1

b=-3a+5=-3+5=2
c=-4a-2b=-4-4=-8
czyli y=x²+2x-8

teraz kwestia zbioru wartości, widzimy po wzorku, że funkcja ma ramionka skierowane do góry, więc jej zbiór wartości będzie od współrzędnej wierzchołka q do nieskończoności

wyliczmy wcześniej Δ=2²-4*1*(-8)=4+32=36
teraz liczymy q=-Δ\(4a)=-36\4=-9

zbiór wartości to <-9,+∞)

przedziały monotoniczności:
najpierw liczymy p=-b/2a=-2/2=-1

f maleje dla x∈ (-∞,-1)
f rośnie dla x∈ <1, +∞)