Question

Własciwie nie tyle potrzebuję rozwiązania do zadania, co wytłumaczenia jaką długość ma podstawa powstałego trójkąta z wysokości ścian bocznych i na podstawie czego tak jest:

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe S, a miara kąta między wysokością dwóch ścian bocznych poprowadzonymi z wierzchołka ostrosłupa jest równa 2alfa. Oblicz objętość ostrosłupa.

Answer 1

Po pierwsze potrzebny jest porządny rysunek. I nie tylko rysunek bryły, ale również odpowiednie przekroje (płaszczyzna podstawy oraz płaszczyzna przekroju).

 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku. Ponadto niech:

- krawędź podstawy

- wysokość ściany bocznej

- wysokość ostrosłupa

 

Postaramy wszystkie inne wielkości wyrazić przez długość krawędzi podstawy. Do policzenia szukanej długości potrzebujemy przyjrzeć się podstawie ostrosłupa.

 

Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi - wysokości opuszczone z wierzchołka odpadają w połowie krawędzi podstawy:

 

Stąd jest trójkątem równoramiennym. Kąt przy wierzchołku to nic innego jak odpowiedni kąt trójkąta - który z warunków zadania jest równoboczny. Dlatego jest trójkątem równoramiennym o mierze kąta na przeciwko podstawy równej [tex]60^o[/tex] kąty przy podstawie są wiec równe:

Stąd trójkąt jest równoboczny, czyli:

 

Teraz trzeba jakoś powiązać [tex]a[/tex] z wielkościami podanymi w zadaniu.

 

Najpierw pole powierzchni bocznej:

 

To jednak nic nie dało - wprowadziliśmy kolejną zmienną. Można jednak zauważyć, że może się ona przydać. Jest to bowiem jesdna z krawędzi przekroju :

 

Wracamy do pola:

 

Długość podstawy przekroju: