Question

Dobry dzień,

oczekuję odpowiedzi od razu (prosiłbym nie pisać odpowiedzi po 24. Wszystko niezgodne z tematem zostanie zgłoszone. Również osoby nieogarniające tematu niech się wstrzymają.

Z własności wartości bezwzględnej wynika, że:

|p|=|q| ⇒ p=q ∨ p=-q

to jest oczywiste, ale jak to wygląda w przypadku nierówności?

załóżmy:

|p|>|q|

Przedstawiając to na osi wyjdą nam 3 niewykluczające się przypadki, z których dwa są oczywiste:

p>q lub p<-q

No i własnie ten 3. Rozbijając to logicznie (nie potrafie tego zapisać, ale chyba osią by się to dało wytłumaczyć) wg. mnie wychodzi, że:

p<q

Czy w tym rozumowaniu logicznym jest błąd?

Prosiłbym o wyprowadzenie tego najlepiej, bo nawet wikibooks nie potrafi mi odpowiedzieć na to pytanie.

Również gdybym mógł ogólnie prosić, kiedy w rozwiązywaniu nierówności z wartościa bezwzględną wynikiem jest część wspólna jakiś przedziałów? Lub raczej w jakim przypadku "w środku" zadania takie coś się rozpatruje?

edit:

no dobra, w sumie wykminiłem to, ale jeżeli ktoś ma jakieś rozwiązanie to chętnie się podzielę punktami i przeczytam wytłumaczenie co do drugiej części pytania.

Answer 1

1) |p|>|q|

Rozpatrujemy 4 przypadki (4 ćwiartki Układu Współrzędnych):

1. p>0,q>0 (I ćwiartka)

Stąd p>q

2. p>0, q<0 (II ćwiartka)

Stąd p>-q

3. p<0, q<0 (III ćwiartka)

-p>-q

Stąd p<q

4. p<0, q>0 (IV ćwiartka)

-p>q

Stąd p<-q

Zoobrazuje rozwiązanie (zakreskowany obszar) w układzie wspórzędnych (patrz załącznik)

 

2) Gdy mamy nierównośc np. y>|x| z definicji

y>x lub y<-x czyli

y∈(-∞,-x)(x,∞) czyli sumujemy przedziały

Jednak w przypadku

y<|x| z definicji

y<x i y>-x czyli

y∈(-∞,x)(-x,∞) czyli

y∈(-x,x) - tu bierzemy część wspólną przedziałów.

Answer 2

spróbuje to wszystko krok po kroku rozpisać, jak będziesz mieć jeszcze jakieś pytania to chętnie odpowiem

 

 

definicja wartości bezwzględnej:

co jest równoważne temu, że:

 

korzystamy z definicji dla p:

 

korzystamy z definicji dla q:

 

łączność alternatywy:

co w szczególności daje:

 

stosujemy tą elementarną własność alternatywy:

 

jeszcze kosmetyka, aby doprowadzić to do tego co Ty:

 

dalej mamy układ nierówności

oczywiściem, wszystko jedno do którego przedziału włączymy 0

 

Co do Twoich rozważań to jeżeli p i q to są funkcje liniowe to masz całkowitą rację. Jednak można prosto skonstruować przykład z funkcja kwadratową, gdzie będą do rozważenia wszystkie 4 przypadki, na przykład:

czyli żaden przedział nie jest pusty!

 

Co do drugiego pytania to pewnie chdzi o coś takiego: , gdzie oczywiście

Spróbuję Ci pokazać, że to jest dokładnie to samo co wcześniej: