Question

w załączniku, proszę o rozwiązanie zadań 2, 3, 4 i 6, uwaga niektóre wyniki tam na dole podane mogą się nie zgadzać

Answer 1

z.3

a)

log2 *6) - log2 (3) = log2(6/3) = log2 (2) = 1 , bo 2^1 = 2

b)

log3 [1/p(3)] = log3 [ p(3) ^(-1)] = log3 [ 3^(-1/2)] =( -1/2)*log 3(3) =

= (-1/2)*1 = - 1/2

c)

log p(3) [ p3st]^(1/2) = logp(3) [ 3^(1/3)]^(1/2) =

= logp(3)[ 3^(1/2)]^(1/3) = (1/3) * log p(3)[ p(3)] = (1/3)*1 = 1/3

d)

3 ^[log3(5)] = 5

e)

log2(3) + [log3(2)]^(-1) = log2(3) + 1/[log3(2)] = log2(3) + log2(3) =

= 2*log2(3)

f)

log9[p(x)] = -0,1  <=> 9^(-0,1) = x^(1/2) <=> [3^2]^(-0,1) = x ^(1/2) <+>

<=> 3^(-0,2) = x^(1/2)

logarytmujemy obie strony równości

log3[3^(-0,2)] = log3 [ x^(1/2)]

-0,2 * log3(3) =(1/2)* log3 (x)

-0,2 * 1 = (1/2)* log3 (x)     / * 2

-0,4 = log3 (x)

log3 (x) = - 0,4

============

g)

log3(9) + log3 (1/27) + log 1/2 ( 1/16) =

= log3[9* (1/27)] + log 1/2 (1/2)^4 =

= log3 (9/27) + 4* log 1/2 (1/2) =

= log3 (1/3) + 4* 1 = log3 ( 3^(-1)) + 4 = -1*log3 (3) + 4 =

= -1*1 + 4 = -1 + 4 = 3

======================

h)

log2 (8) * log8 (2) = 3*[  1/[log2(8)] = 3* (1/3) = 3/3 = 1

================================================

z.4

a)

log3[log4 (x)] = 0  <=> log4(x) = 3^0 = 1 <=> x = 4^1 = 4 > 0

Odp. 4

======

b)

log5[x^2 - 4] =1  Musi byc  x^2 - 4 > 0

log5 [ x^2 - 4] = 1 <=> x^2 - 4 = 5^1 = 5  <=> x^2  = 9

x1 = -3;  x2 = 3

=============

c)

log[x -2] - log[x -4] = 1 - log [13 - x]

Musi być:

x -2 > 0   i  x - 4> 0    i  13 - x > 0

czyli  x > 2  i  x > 4   i   x < 13

zatem  4 <  x  <  13

Mamy

log [ (x-2)/(x-4)] = log 10 - log[13 - x]

log[(x-2)/(x-4)] = log [10/(13 - x)]

(x-2)/(x-4) = 10/(13 - x)

10*(x-4) = (x-2)*(13 - x)

10x - 40 = 13x - x^2 - 26 + 2x

x^2 -5x - 14 = 0

delta = 25 - 4*1*(-14) = 25 + 56 = 81

p(delty ) = 9

x = [5 - 9]/2 = -4/2 = -2 < 0  <---- odpada

x = [5 + 9]/2 = 14/2 = 7

Odp. 7

========

d)

log p(x -5) + log p(2x -3) + 1 = log  30

x - 5 > 0   i   2x - 3 > 0

czyli [  x > 5   i  x > 1,5 ]  => x > 5

log p [(x-5)*(2x -3) ] = log 30 - log 10

log p[ 2x^2 -13x +15] = log[30/10] = log 3

zatem

p[ 2 x^2 - 13 x + 15] = 3

2x^2 - 13x + 15 = 9

2 x^2 - 13 x + 6 = 0

delta = 169 - 4*2*6 = 169 - 48 = 121

p (delty) = 11

x = [ 13 - 11]/4 =2/4 = 1/2  < 5    więc odpada

x = [ 13 + 11]/4 = 24/4 = 6 > 5

Odp. x = 6

===============

e )

log ( 0,5 + x) = log 0,5  - log x

0,5 + x > 0    i    x > 0

[  x > -0,5   i  x > 0 ] => x > 0

log [ 0,5 + x ] = log[ 0,5 / x ]

0,5 + x = 0,5 / x  ;  mnożymy przez x

0,5x + x^2 = 0,5

x^2 + 0,5x - 0,5 = 0

delta = 0,25 - 4*1*(-0,5) = 0,25 + 2 = 2,25

p (delty ) = 1,5

x = [ -0,5 - 1,5]/2 = -2/2 = - 1 < 0, więc odpada

x = [ -0,5 + 1,5]/2 = 1/2 = 0,5

Odp. x = 0,5

==================================

f)

log [ 9 - 2^x ] = 3 - x

założenie: 9 - 2^x > 0  => 9 > 2^x    => 2^x  < 9

log [ 9 - 2^x ] = 3 -x   <=>  10^(3 - x) = 9 - 2^x  <=> (10^3)/(10^x) = 9 - 2^x

<=> x = 3

=========

spr. 10^3  / 10^3  = 1  oraz 9  - 2^3 = 9 - 8 = 1

----------------------------------------------------------------------------------------

g)

log4 { 2 log3 [ 1 + log2 (1 + 3 log2 (x))]} = 1/2

zatem  2 log3 [ 1 + log2 ( 1 + 3 log2 (x))] = 4^(1/2) = p(4) = 2  / : 2

log3 [ 1 + log2(1 + 3 log2(x))] = 1

więc   1 +  log2 ( 1 +  3 log2 (x)) = 3^1 = 3  /  - 1

log2 ( 1 + 3 log2 (x) ) = 2

czyli   1 + 3 log2 (x) = 2^2 = 4    /  -1

3 log2 (x) = 3  /  : 3

log2 (x) = 1

x = 2 > 0

Odp. x = 2

================

z.2

a)

(2/3)^x > p[p(1,5)]  ; mamy  a = 2/3 < 1

(2/3)^x > (3/2)^(1/4)

(2/3)^x > (2/3)^(-1/4)

x <  -1 /4  , bo    a = 2/3 < 1

Odp. x < - 1/4

================

b)

5^x - 3^(x +1)    >   2*[ 5 ^(x -1) - 3^x ]

5^x  - 3*3^x    >  2* 5^(x -1)  - 2* 3^x

5^x - 2*(1/5)*5^x  >  3*3^x - 2*3^x

5^x - (0,4)*5^x   >   3^x

0,6 * 5^x    >  3^x  ; dzielimy przez  5^x

0,6   >   (3^x)/( 5^x)

(3/5)^x  <  0,6

( 3/5)^x  <   (3/5)^1 ;  ponieważ  a = 3/5 < 1  zatem

x > 1

============

c)

3^(x+2) + 7^x   <  4* 7^(x -1)  + 34 * 3 ^(x -1)

3^2 * 3^x  -  34 *(1/3)* 3^x    <   4 *(1/7)* 7^x   - 7^x

9* 3^x - (34/3)* 36x   <   (4/7)* 7^x   - 7^x

( 9 - 11  1/3 ) *3^x  <  ( 4/7  -  1 ) * 7 ^x

( - 2   1/3 ) * 3^x   <    ( - 3/7)*  7^x

( - 7/3)*  3^x   <      ( -3/7) * 7^x      / * ( -3/7)

3^x    >    (9/49)* 7 ^x     /  : 7^x

(3^x)/( 7^x)  > 9/49

(3/7) ^ x   >  (3/7) ^2 ; ponieważ   a  =  3/7  < 1 , zatem

Odp.  x < 2

==================

 

d)

3^(1/x) + 3^[ (1/x) + 3] >  84

3^(1/x) + 3^3  * 3 ^(1/x)  > 84

3^(1/x) + 27 * 3^(1/x) >  84

28 * 3^(1/x)   > 84    /  : 28

3^(1/x) > 3 ^1  ; ponieważ a = 3  więc

1/x  > 1

0 < x < 1

=========

e)

(1/3)^(p(x+2))  > 3 ^(-x)

Założenie: x+2 >= 0  czyli x >= - 2

(1/3)^(p(x+2))  > (1/3)^x

Ponieważ a = 1/3 < 1 zatem

p(x +2) < x

Rozpatrujemy 2 przypadki:

1 )    -2 <= x < 0

wtedy p(x+2) > 0  , ale  x <0

Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy

x =2 > x^2

-x^2 + x +1 > 0

delta = 9

x1 = 2 oraz  x2  = -1

Ramiona paraboli skierowane w dół

czyli   [   -1 < x < 2, ale   -2 <= x < 0  ] =>  x należy do ( -1; 0)

2)

dla x > 0

p(x +2) > 0  oraz  x > 0

zatem po podniesieniu do kwadratu mamy

x +2 < x^2

-x^2 + x +2 < 0

delta = 9

x1 = 2 ; x2 = - 1  oraz ramiona paraboli skierowane w dół

czyli [  -1 < x < 2  oraz  x > 0 ] =>   x należy do (0; 2)

Z 1)  i  2) =>  x należy do ( -1; 0 ) u (0; 2)

Liczba 0 nie spełnia tej nierówności, bo

(1/3)^p(2)  < 3^0 = 1,a nie >

Odp.  X  należy do ( -1; 0) u ( 0; 2)

===================================

f)

2^(3 - 6x) > 1

2^(3 - 6x) > 2^0

a = 2 > 1  zatem

3 - 6x > 0

-6x > -3  / : (-6)

x < 1/2

=====================

g)

x^2 * 5^x - 5^(2 +x)  < 0

x^2  * 5^x  - 5^2  * 5^x  < 0

x^2  * 5^x  - 25 * 5^x  < 0

x^2 *5^x  <  25*5^x    ; ponieważ zawsze 5^x > 0   po podzieleniu przez 5^x

mamy

x^2  < 25

czyli    -5 <  x  < 5

Odp.  x  należy do  ( -5 ; 5 )

============================

h)

4^(x-1)  + 1/4  <= 0

( 4 ^(-1)) * 4^x  + 1/4  <= 0

(1/4)* 4^x +  1/4  <= 0      / * 4

4^x + 1  <= 0  sprzecznośc, bo  4^x  > 0  dla dowolnej liczby  x

Odp. Nie ma rozwiązań

======================================