Question

Granice funkcji i ciągów

proszę o rozwiązanie przykładów:

zad 2.3 przykłady: 2

zad 2.4 przykłady: 4,5

zad 2.5 przykłady: 1,2

zad 2.6 przykłady: 2,3,4,5

Answer 1

z.2.3

2) [(n^2 + 6)/(n^2 + 5)]^(n^2) =[ an^(n^2)]/[bn^(n^2)]

gdzie

an ={ [n^2 +6]/(n^2)]^(n^2) = [ 1 + 6/(n^2)]^(n^2)

oraz

bn = { [n^2 + 5]/(n^2)]^(n^2)} = [ 1 + 5/(n^2)]^(n^2)

Ponieważ

lim an =  e^6

n --> niesk.

oraz

lim bn = e^5

n --> niesk.

zatem

lim [ (n^2 + 6)/(n^2 + 5)] ^(n^2) = e^6 :  e^5  =  e

n --> niesk.

e  <-- postawa logarytmu naturalnego

-------------------------------------------------------------------------

z.2.4

4)

Obliczyć granicę ciagu: [ 1/n !]* arctg ( n^2 + 2)

Niech an = [ 1/ n !] *[- pi/2]

oraz cn = [1/ n ! ] * [ pi /2]

Mamy

an < [ 1/ n !] * arctg (n^2 + 2) <   cn

lim an = 0

n --> niesk.

oraz

lim cn = 0

n --> niesk.

zatem na podstawie tw. o trzech ciągach

lim [ 1/ n !] * arctg( n^2 + 2) =  0

n --> nieskończoności.

==========================================

5) obliczyć granicę ciagu   [1/n] * ln [ 7^n + 10^n]

Niech

an = [1/n]*ln[10^n] = [1/n]*n*ln 10= ln 10

cn = [1/n]*ln[10^n + 10^n] = [1/n]* ln [ 2*10^n] =

= [1/n]*[ ln 2  + ln 10^n] = [1/n]*ln 2 + [1/n]*n*ln 10 =

= [1/n]*ln 2 + ln10

Mamy  an  < [1/n]*ln [ 7^n + 10^n]   <  cn

oraz

lim an = ln 10

n--> niesk.

oraz

lim cn  = ln 10

n--> niesk.

bo

lim [1/n]* ln 2 = 0

n --> niesk.

zatem na podstawie twierdzenia o trzech ciagach

lim  [1/n] * ln [ 7^n + 10^n]  = ln 10

n --> nieskończoności

============================================================

z.2.5

1)

Granica

lim sin x

x--> niesk.

nie istnieje, bomożna wybrac ciąg rozbieżny do nieskończoności,np. (xn)

xn = (1/2)*n*pi  --> nieskończoności, natomiast  ciąg

sin [(1/2)*n*pi ] nie dąży do określonej granicy, bo przybiera wartości: 0,1, -1

x --> niesk.

---------------------------------------------------------------------------------------

2)

Granica

lim [x+1]/[x -1]  nie istnieje,

x --> 1

bo granica lewostronna

lim [x+1]/[x-1] = - nieskończoność

x --> 1

a granica prawostronna

lim [x=1]/[x -1] =  + nieskonczoność

x --> 1

==============================================================

z.2.6

2)

lim[ p(1 + x) + 2 ]/ [ 1 + x^2] =

x --> niesk.

= lim  { p[1/(x^2) + 1/x] + 2/x }/{ p[ 1/(x^2)  + x] } = 0

----------------------------------------------------------------------

3)

Korzystamy z a^2 - b^2 = (a-b)*(a+b) --> a - b = [a^2 - b^2 ]/[ a+ b]

 

p(x+1)  - p(x-1) = [ x+1 - (x -1)]/ [ p(x+1) + p(x -1)] =

= 2 /[ p(x =1) + p9x -1)]

zatem

lim [ p(x+1) - P(x -1)]  =

x --> niesk.

= lim { 2/ [ p(x+1) = p(x -1)]} = 0

x --> niesk.

bo p(x +1)  ---> niesk .  oraz  p(x -1) --> niesk.  gdy x  ---> niesk.

------------------------------------------------------------------------------

5)  [ sin 2x]/ [ sin 3x] =[2*sin2x * 3x]/ [ 3*2x * sin 3x ] ]

= (2/3)*[(sin 2x)/(2x)] * [ (3x)/(sin 3x)]

Korzystamy z wzorów:

lim [ sinx /x] = 1

x --> 0

oraz

lim [( sin bx)/(bx)] = 1

x --> 0

zatem

lim [ sin 2x]/[sin 3x] = (2/3)*1*1 = 2/3

x --> 0

=====================================================