W załącznikach jest 14 zadań oznaczonych iksem. Proszę o wyrozumiałość i cierpliwość, dlatego zadani.... Question from @Cymer95

January 2019 1 35 Report

W załącznikach jest 14 zadań oznaczonych iksem. Proszę o wyrozumiałość i cierpliwość, dlatego zadanie jest wysoko punktowane.

unicorn05 Zał I
12
przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest jednocześnie średnicą tego okręgu:
2r = a√2
długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości jego boku: 2r = b
Stąd b = a√2
a = 1 ⇒ b = √2
P = b² = 2

13
$P= \frac{1}{2}(a+b)\cdot h\\\\Obw=a+b+c+d, \qquad\qquad a=x+y+b \\\\d=6\\c=3\\x= \sqrt{3^2-2^2}= \sqrt{5}\\y= \sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\\\\ 21=\sqrt5+4\sqrt2+b+b+3+6\\\\2b=21-\sqrt5-4\sqrt2 -9\\\\2b=12-\sqrt5-4\sqrt2 \ \ \ /:2$

$b= \frac{12-\sqrt5-4\sqrt2}{2} \\\\a=\sqrt5+4\sqrt2+ \frac{12-\sqrt5-4\sqrt2}{2}= \frac{2\sqrt5+8\sqrt2+12-\sqrt5-4\sqrt2}{2}= \frac{\sqrt5+4\sqrt2+12}{2}\\\\\\ P= \frac{1}{2}( \frac{\sqrt5+4\sqrt2+12}{2}+\frac{12-\sqrt5-4\sqrt2}{2})\cdot2=\frac{\sqrt5+4\sqrt2+12+12-\sqrt5-4\sqrt2}{2}= 12$

wersja alternatywna (spóźnione olśnienie):
Obw = a+b+c+d
21 = a + b + 3 + 6
a + b = 21- 9 = 12
P = 1/2 · (a+b) · h = 1/2 · 12 · 2 =12

17
Jeśli jedna z przekątnych rombu jest równa jego bokowi to romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych wysokość tego trójkąta pokrywa się z wysokością rombu.
czyli:
   $h= \frac{a\sqrt3}{2}\\\\4a=24\ \ \implies\ a=6\\\\h= \frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\\\\\\P=a*h =6*3\sqrt3=18\sqrt3$

Zał II
1 D
$sin^2 \alpha+cos^2 \alpha =1\ \ \Rightarrow\ \ cos^2 \alpha = 1-sin^2 \alpha\\\\cos^2 \alpha=1-( \frac{1}{4})^2=1- \frac{1}{16}\\\\ cos^2 \alpha= \frac{15}{16}\\\\cos \alpha= \frac{\sqrt{15}}{4}\ \ \textgreater \ \ \frac{\sqrt{13}}{4}$

2 D
$\sqrt{cos^2\alpha-sin^2 \alpha }= \sqrt{cos^2\alpha-1+cos^2\alpha}= \sqrt{2cos^2\alpha-1}=\\\\= \sqrt{2*(\frac{12}{13})^2-1}= \sqrt{2*\frac{144}{169}-1}= \sqrt{\frac{288}{169}-\frac{169}{169}} = \sqrt{\frac{119}{169}}= \frac{\sqrt{119}}{13}$

3 C
tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi (3x) do przyprostokątnej przyległej kątowi (4x). Stąd przeciwprostokątna (z tw. Pitagorasa) będzie 5x
Czyli $cos \alpha = \frac{4x}{5x}= \frac{4}{5}$

$\frac{2-cos\alpha}{2+cos \alpha} =\frac{2- \frac{4}{5} }{2+ \frac{4}{5}}=\frac{ \frac{6}{5} }{ \frac{14}{5}}= \frac{6}{5} * \frac{5}{14}= \frac{3}{7}$

4 A
z wzorów redukcyjnych: tg(90-α)=ctgα=1/tgα
   $\frac{1}{tg \alpha }= \frac{1}{2}\\\\
tg \alpha =2$
przyprostokątna przeciwległa: 2x i przyprostokątna przyległa: 1x ⇒ przeciwprostokątna: x√5
       $sin\alpha= \frac{2x}{x \sqrt{5} }= \frac{2\sqrt5}{5}$

7 D
   $cos137^o=cos(180^o-43^o)=-cos43^o$
      $-cos43^o+cos43^o=0$
137* to druga ćwiartka, więc cosinus po redukcji jest ujemny
przy redukcji korzystamy z parzystej wielokrotności 90* (2·90*=180*), więc nie przechodzi w kofunkcję

Zał III
1
Kąt 30* jest częścią kąta prostego między promieniem OB, a styczną do okręgu w pkt B. Resztę tego kąta prostego stanowi kąt <ABO
Czyli
<ABO = 90* - 30* = 60*
|OB| = |OC| = r ⇒ <OBC = <BCO
<BCO + <OBC + 50* = 180*
2 · <OBC = 130* /:2
<OBC = 65*

<ABC = <ABO + <OBC = 60* + 65* = 125*

2
w trójkącie prostokątnym, przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie, więc środkowa poprowadzona z kąta prostego jest jednocześnie promieniem tego okręgu (rysunek w załączniku).
Czyli jest równa połowie długości przeciwprostokątnej |CS|=1/2 |AB|
|AC|² + |BC|² = |AB|²
4² + 8² = |AB|²
|AB|² = 16 + 64 = 80
|AB| = √80 = 2 √10

|CS| = 1/2 · 2√10 = √10

12
wyrazy ciągu geometrycznego spełniają warunek:
   $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\\\\a_{n-1}=9\\a_n\ =\ x\\a_{n+1}=x-2\\\\\\x^2=9(x-2)\\\\ x^2-9x+18=0\\\\ \Delta=81-72=9\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \sqrt{\Delta}=3\\\\ x= \frac{9-3}{2}=3 \quad \vee \quad x= \frac{9+3}{2}=6$

6
$(a_n)$ - ciąg arytmetyczny:    $a_2= \frac{a_1+a_3}{2}$
$(b_n)$ - ciąg geometryczny:    $b_2^2=b_1\cdot b_3$

$a_1=3,\qquad a_2=b_1=a,\qquad a_3=b_2 =b, \qquad b_3=25$

$a= \frac{3+b}{2}$

$b^2=25a\\\\b^2=25\cdot \frac{3+b}{2}\ \ \ / \cdot 2\\\\2b^2=75+25b\\\\
2b^2-25b-75=0 \\\\ \Delta=625+600=1225\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{\Delta}=35\\\\b= \frac{25+35}{4}=15 \quad \vee \quad b= \frac{25-35}{4}=-2,5\ \ \textless \ 3\\\\\\b=15 \quad \Rightarrow\quad a= \frac{3+15}{2}= 9$

1
$a_n=(-1)^n \cdot \frac{2-n}{n^2}\\\\\\ a_2=(-1)^2 \cdot \frac{2-2}{2^2}=1 \cdot \frac{0}{4}=0 \\\\ a_5=(-1)^5 \cdot \frac{2-5}{5^2}=-1 \cdot \frac{-3}{25}= \frac{3}{25}$

2
$a_n=n^2-2n-24 \quad \wedge \quad a_n\ \textless \ 0, \quad n \in \mathbb N^+\\\\\\n^2-2n-24 \ \textless \ 0\\\\ \Delta=4+96=100 \ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{\Delta}=10\\\\n_1= \frac{2+10}{2}=6, \qquad\ \ n_2= \frac{2-10}{2}=-4\\\\n \in(-4,6)\ \wedge \ n \in \mathbb N^+\ \ \Rightarrow \ \ n \in \{1,2,3,4,5\}$

Dany ciąg ma 5 ujemnych wyrazów

1 votes Thanks 1