Question

W urnie znajduję się n kul czarnych i 2n kul białych.Losujemy jednocześnie dwie kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul tego samego koloru, czy wylosowanie dwóch kul różnych kolorów? opowiedz uzasdnij.

Answer 1

prawdopodobniejsze jest wylosowanie kul tego samego koloru poniewaz czarnych kul jest n a białcyh 2x tyle

Answer 2

szans na wylosowanie dwa razy kuli czarnej wynosi

n/3n*((n-1)/3n)=(n^2-n)/9n^2

szans na wylosowanie dwa razy kuli białej wynosi

2n/3n*((2n-1)/3n)=4n^2-2n/9n^2

czyli szans na wylosowanie dwa razy kuli jednakowego koloru jest sumą prawdopodobieństw powyższych zdarzeń (nazwijmy to zdarzeniem A)

4n^2-2n+n^2-n/9n^2=5n^2-3n/9n^2

Prawdopodobieństwo wystąpienia tego że raz wypadnie jedna kula a raz druga jest zdarzeniem odwrotnym(nazwijmy to zdarzeniem B). Czyli szans na to jest:

1-((5n^2-3n)/9n^2)=9n^2/9n^2-((5n^2-3n)/9n^2)=4n^2-3n/9n^2

zakładamy, że n jest liczbą dodatnią (bo nie może być ujemnej ilości kul)

skróćmy zatem wyniki przez n

P(A)=5n-3/9n

P(B)=4n-3/9n

jeśli z odejmowania P(A)-P(B) wyjdzie nam liczba dodatnia to znaczy, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest większe. Jeśli nie to na odwrót

P(A)-P(B)=5n-3/9n - 4n-3/n=n/9n=1/9 

1/9>0

to znaczy, że większa jest szansa wylosowania dwóch jednakowych kul