Question

W trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C wpisano okrąg. Punkt P jest punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną. Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta, jeśli wiadomo, że |AP|=9 i |PB|=6

Proszę o jasne obliczenia, krok po kroku, muszę wiedzieć co skąd się wzięło. Rysunki bardzo by mi się przydały również.. ;)

Answer 1

Niech ABC będzie tym trójkątem.

Ponieważ I AP I = 9   oraz  I PB I = 6, zatem I AB I = 9 + 6 = 15

Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt

oraz P  i  S  to punkty styczności okręgu z bokiem BC  oraz bokiem AC.

O - środek okręgu wpisanego

OP = OR = OS = r

Łatwo wykazać, ze trójkąt ASO jest przystający do trójkąta APO,

zatem I AS I= I AP I = 9

Analogicznie trójkąt BRO jest przystający do trójkąta BPO,

zatem I BR i = I BP I = 6

Mamy więc

I AC I = r + 9

oraz

I BC I = r + 6

Z tw. Pitagorasa  mamy

I AC I ^2 + I BC I ^2 = I AB I ^2

czyli

(r +9)^2 + (r + 6)^2 = 15^2

r^2 + 18 r + 81 +r^2 + 12 r + 36 = 225

2 r^2 + 30 r - 108 = 0  / : 2

r^2 + 15 r - 54 = 0

delta = 15^2 - 4*1*(-54) = 225 + 216 = 441

p(delty) = p(441) = 21

r = [ -15 - 21]/2 < 0  <-- odpada

r = [ -15 + 21]/2 = 6/2 = 3

======================

zatem przyprostokątne mają długości:

I AC I = 9 + 3 = 12

I BC I = 6 + 3 =  9

=======================