Question

W trapezie ABCD (AB || DC) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O, takim że |AO| : |OC| = 4 : 1. Pole trójkąta DOC jest równe 2. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 50.

Answer 1

Trójkąty AOB i DOC są podobne z cechy kąt kąt, co więcej, podana jest skala podobieństwa 4:1. Więc możemy policzyć pole, wiedząc, że pola są w stosunku kwadratu skali podobieństwa, czyli
Niech teraz CD ma długość a, wtedy AB ma długość 4a. to samo się dzieje z wysokościami prowadzonymi z punktu O, czyli niech wysokość prowadzona z O na trójkąt COD ma długość h, to wówczas wysokość poprowadzona  z O na AB ma długość 4h. Czyli łącznie wysokość trapezu ma długość 5h.
Dalej do policzenia nam pozostały pola trójkątów AOD i COB.
zauważmy, że ACB składa się z trójkąta COB i AOB. Pole ACB możemy łatwo wyznaczyć, bo przy wcześniejszych oznaczeniach wynosi ono
Natomiast pole COD wynosi przy tych oznaczeniach
Wystarczy wstawić ah do drugiego równania i dostajemy, że
Czyli
Dokładnie te same rachunki powtarzając dla trójkąta ABD i z niego podstajemy, że a żeby wyznaczyć pole trapezu wystarczy zsumować pola trójkątów czyli