Question

Dany jest trójkąt ABC, w którym bok BC ma długość a, bok AC - długość b, a miara kąta ACB wynosi 120 stopni. Punkt D jest środkiem boku AB. Udowodnij, że

Answer 1

Obróćmy trójkąt ABC symetrycznie względem D.
i Niech C' będzie obrazem symetrycznym C', Przy symetrii środkowej odcinki przechodzą na odcinki równoległe. Stąd czworokąt CAC'B jest równoległobokiem ponadto skoro kąt ACB wynosił 120 stopni to licząc po kątach dostajemy, że kąt ACC' wynosi 60 stopni ponadto skoro w równoległoboku przekątne się połowią to C, D i C' są współliniowe oraz długość CC' = 2CD
Do trójkąta ACC' stosujemy twierdzenie cosinusów i dostajemy

pierwiastkujemy stronami i wstawiamy, że CC' = 2CD i dostajemy

a dzieląc przez 2 otrzymujemy tezę