Question

W rozwartokątnym trójkącie równoramiennym ABC (AC=BC) odległość środka koła wpisanego w trójkąt od wierzchołka A jest równa d, a kąt ACB = 2 alfa.Oblicz pole trójkąta ABC i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Obliczenia i najlepiej jakiś prosty schematyczny rysunek.

Answer 1

W rozwartokątnym trójkącie równoramiennym ABC (AC=BC) odległość środka koła wpisanego w trójkąt od wierzchołka A jest równa d, a kąt ACB = 2 alfa.Oblicz pole trójkąta ABC i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pamiętaj, że jak wpisujesz okrąd, to środek tego okręgu jest punktem przecięcia się dwusiecznych kątów trójkata
a zatem
kąt 2α podzielił się na α i α
a pozostałe ( równe, ostre) na kąty po 45⁰ - α/2 (180⁰-2α)/2 i jeszcze na 2

x-ramię
z tw. sinusów mamy:
d/sinα=x/sin[180⁰-α-(45⁰- α/2)]
x=d sin(135⁰- α/2) / sinα

PΔ=1/2 x*x *sin 2α
PΔ=1/2 x*x *2sin α cosα
PΔ= x²*sin α cosα
PΔ=(d sin(135⁰- α/2) / sinα)²*sin α cosα
PΔ=(d² sin²(135⁰- α/2) / sin²α)*sin α cosα
PΔ=(d² sin²(135⁰- α/2) / sinα)* cosα
PΔ=[d² sin²(135⁰- α/2) * cosα ] / sinα

r=?

sin(45⁰- α/2)=r/d
r=d sin(45⁰- α/2)