Question

W rombie połączono środki kolejnych boków i otrzymano prostokąt. W otrzymanym prostokącie również połączono środki kolejnych boków, otrzymując romb itd. Udowodnij matematycznie że skala podobieństwa rombó ma się jak 1;2 i skala podobieństwa prostokątów też ma się jak 1;2.

Prosze o szybko odp;)

Answer 1

Dla rombu:
z tw. Talesa:
|AE| = 2|AF| => |AC| = 2|AB|
|AE| = 2|EF| => |EC| = 2|ED|

z tw. Pitagorasa:
|BC|² + |CD|² = |BD|²
|AC|² + |ED|² = |AE|²

|BC|² + |CD|² = |BD|²
4|BC|² + 4|CD|² = |AE|²

|BC|² + |CD|² = |BD|²
4(|BC|² + 4|CD|²) = |AE|²
|AE|² = 4|BD|²

|AE| = 2|BD|
czyli mamy podobieństwo rombów

dla prostokąta:
z tw. Talesa:
|BD| = 2|BI| => |BC| = 2|BG| = |FD|
|BD| = 2|DI| => |DC| = 2|DH| = |FB|

z symetryczności rombu wg przekątnej i symetryczności prostokąta wg odcinka łączącego środki naprzeciwległych boków:
|BC| = 2|BG| = |FD| = |FK|/2
|DC| = 2|DH| = |FB| = |FJ|/2

|FD| = |FK|/2
|FB| = |FJ|/2
czyli mamy podobieństwo prostokątów

Ponieważ dowód nie wykorzystywał wielkości figur, dla dalszych rombów i kwadratów proporcje również będą zachowane.