Question

W romb wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z bokiem dzieli bok na odcinki długości 4 cm i 9 cm. Oblicz długość przekątnych i wysokość rombu.


Prosze pomusz mi bo musze mieć to na dzisiaj plisssss :)

Answer 1

Przekątne rombu przecinają się w połowie tworząc trójkąty prostokątne.
x - połowa przekątnej
y - połowa drugiej przekątnej

Z tw Pitagorasa
x² + y² = 13²
x² + y² = 169

Środek okręgu leży w punkcie przecięcia się przekątnych, natomiast promienie poprowadzone do punktów styczności są do odpowiednich boków prostopadłe. Narysuj jeden taki promień. Znowu powstaną trójkąty prostokątne.

x² = 4² + r²
y² = 9² + r²

Wstawiamy do pierwszego równania:

16 + r² + 81 + r² = 169
2r² = 72
r² = 36
r = 6

Wstawiamy do poprzednich równań, aby policzyć przekątne.
x² = 16 + 36
x² = 52
x = 2√13
2x = 4√13 (cała przekątna)

y² = 81 + 36
y² = 117
y = √117
2y = 2√117 (cała przekątna)

Wysokość rombu jest równa dwom promieniom, zatem
h=12

Sprawdzenie. Wystarczy porównać pola.
P = ah = 13*12 = 156
P = 0,5ef = 0,5 * 2√117 * 4√13 = 4√1521 = 4*39 = 156