Question

W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym długość krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi
podstawy, a pole ściany bocznej jest równe 72√3.
a) Oblicz objętość ostrosłupa oraz wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany
bocznej.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich
krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

Answer 1

A)
kraw,podstawy =a
krawedz boczna b=a  , czyli kazda z 4 scian bocznych jest Δ rownobocznym 
Pole 1 sciany bocz nej Pb=72√3
a²√3/4=72√3  /·4
a²√3=288√3  /:√3
a²=288
a=√288=12√2 --->krawedz podstawy

to wysokosc sciany bocznej ma wzor h=a√3/2=12√2·√3/2=6√6 cm
z pitagorasa
(1/2a)²+H²=h²
(6√2)²+H²=(6√6)²
72+H²=216
H²=216-72
H=√144=12 cm--->wysokosc ostrolupa

Pp=a²=(12√2)²=288cm²

objetosc ostroslupa
V=1/3Pp·H=1/3·288·12=1152cm³
z podobienstwa Δ wynika zaleznosc:
H/(1/2a)=(1/2H)/x
12/(6√2)=6/x
36√2=12x     /:12
x=3√2 cm --->odleglosc srodka wysokosci ostroslupa od sciany bocznej
b) na plaszczyzne sklada sie pole Δ rownoramiennego podstawie =y i ramieniu rownym dlugosci wysokosci sciany bocznej tego ostroslupa czyli h=6√6 
liczymy podstawe tego Δ zatem
(1/2a)²+(1/2a)²=y²
(6√2)²+(6√2)²=y²
72+72=y²
144=y²
y=√144=12cm
liczymy wysokosc tego Δ 
(1/2y)²+hs²=(6√6)²
6²+hs²=216
hs²=216-36
hs²=180
hs=√180=6√5 cm
zatem pole przekroju wynosi PΔ=1/2·y·hs=1/2·12·6√5=36√5 cm²