Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkatnym wysokość podstawy ma 9 cm a kąt między scianą boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę 60 stopni . Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym trójkatnym wysokość podstawy ma 9 cm a kąt między scianą boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę 60 stopni . Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły

a - krawędź postawy ( trójkąta równobocznego)
hp = 9 cm - wysokość podstawy ( wysokość trójkąta równobocznego)
hp = 1/2*a√2 - wzór na wysokość podstawy( wysokość trójkąta równobocznego)
hś - wysokość ściany bocznej ( wysokość trójkąta równoramiennego)
α = 60° - kat między ścianą boczną ( wysokością sciany bocznej hś ) a płaszczyzną podstawy( wysokością hp podstawy)
Pp - pole podstawy ( pole trójkąta równobocznego)
H - wysokość ostrosłupa

Pc = ? pole całkowite ostrosłupa

1.Obliczam krawędź podstawy a
hp = 9 cm
hp = 1/2*a√2
1/2*a√2 = 9 cm /*2
a√2 = 18 cm /: √2
a = 18 : √2
a = ( 18 : √2)*(√2 : √2) usuwam niewymierność mianownika
a = 18*√2 : 2
a = 9√2 cm

2. Obliczam pole podstawy Pp
Pp = 1/2*a*hp
Pp = 1/2*9√2cm *9 cm
Pp = 81/2*√2 cm²

3. Obliczam wysokość hś ściany bocznej
z trójkąta prostokątnego, gdzie:
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kata α = 60°
1/3hp - przyprostokatna leżąca przy kącie α = 60°
hś - przeciwprostokatna
1/3hp : hś = cos α
1/3*9cm : hś = cos 60°
3 : hś = 1/2
hś = 2*3 cm
hś = 6 cm

4. Obliczam pole boczne Pb
Pole boczne składa się z 3 pól trójkatów równoramennych

Pb = 3*1/2*a*hś
Pb = 3/2*9 cm*6 cm
Pb = 81 cm²

5. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + Pb
Pc = 81/2*√2 cm² + 81 cm²
Pc = 81( 1/2*√2 + 1) cm²
Pc ≈ 138,105 cm²