Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni przekątna podstawy wynosi 8 . Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa.

Answer 1

d - długość  przekątnej podstawy czyli kwadratu

d = 8 p(2)

alfa = 30 stopni

h - wysokość ostrosłupa

k - długość krawędzi  bocznej ostrosłupa

a  - długość krawędzi podstawy ( boku kwadratu )

Mamy

d/2 = 8 p(2) / 2 = 4 p(2)

tg 30 st = h /( d/2)

h = (d/2)* tg 30 st = 4 p(2) * p(3)/3 = (4/3)*p(6)

h = (4/3) p(6)

----------------

d = 8 p(2) = a p(2)  --> a = 8

a = 8

------

k^2 = h^2 + (d/2)^2 = [ (4/3) p(6)]^2 + [ 4 p(2)]^2

k^2 = (16/9)*6 + 16*2 = 32/3 + 32 = 32/3 + 96/3 = 128/3 = (64*2)/3

k^2 = 64*(2/3)

k = 8 *p(2/3)

-----------------

h1 - wysokość ściany bocznej ( trójkąta równoramiennego)

(h1)^2 = k^2 - (a/2)^2 =  64*(2/3) - 4^2 = 128/3 - 16 = 128/3 - 48/3 = 80/3

(h1)^2 = (16*5)/3 = 16*(5/3)

h1 = 4 *p(5/3)

-------------------

Objetość

V = (1/3)* Pp *h = (1/3)* a^2 *h = (1/3)*8^2 *(4/3) *p(6)

V = (64/3)*(4/3)*p(6) = (256/9)* p(6)

==================================

Pole powierzchni

Pc = Pp + Pb = a^2 + 4*(1/2) a*h1

Pc = 8^2 +2*8* 4* p(5/3) = 64 + 64 *p(5/3)

Pc = 64 *[ 1 + p(5/3)]

=====================