Question

W kwadrat o boku 2 wpisano drugi kwadrat w ten sposób ,że bok wpisanego kwadratu tworzy zbokiem danego kąt30°.Oblicz mniejszą odległość wierzchołków tych kwadratów

Answer 1

kwadrat ABCD o boku 2 (patrz załącznik)

kwadrat EFGH wpisany w kwadrat ABCD

x, y - części boku kwadratu ABCD na jakie dzieli go wierzchołek kwadratu EFGH

α - kąt  między bokami kwadratów

 

α = 30°

x + y = 2

Z zależności między bokami w Δ 90°, 60°, 30° wynika, że jeśli przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° ma długość x, to druga przyprostokątna y = x√3 oraz x < y

x + y = 2

x + x√3 = 2

x·(1 + √3) = 2 /:(1 + √3)

x + y = 2

y = 2 - x

y = 2 - √3 + 1

y = 3 - √3

 

Możem to również wyliczyć z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

α = 30°

x + y = 2 ⇒ y = 2 - x

y = 2 - x

y = 2 - √3 + 1

y = 3 - √3

x < y

√3 - 1 < 3 - √3

 

Odp. Mniejsza odległość wierzchołków kwadratów wynosi √3 - 1.