Question

W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długości 6cm każda. Wiedząc, że utworzyły one kąt 60stopni, oblicz pole części koła zawartej między tymi cięciwami.

Odp powinna wynosić: 2(3 pierwiastek z 3 +2pie)cm kwadrat

Answer 1

Niech A oznacza punkt z którego poprowadzono obie cięciwy, a ich drugie końce oznaczmy B i C. Punkty A, B i C tworzą trójkąt, który jest równoramienny, gdyż cięciwy są równe, więc kąty wewnętrzne tego trójkąta przy wierzchołkach B i C muszą być równe, a ponieważ trzeci kąt przy wierzchołku A ma 60° a suma kątów wewnętrznych w trójkącie musi być równa 180° więc trójkąt ten jest równoboczny. Długość a boku tego trójkąta to 6cm, zatem promień okręgu opisanego na tym trójkącie to według wzoru r = a√3/3 = 2√3cm.
Zauważmy, że na pole całego koła składa się pole trójkąta równobocznego oraz trzy pola odcinków koła (odcinek koła - część koła ograniczona przez cięciwę i łuk)
Natomiast na pole, które mamy obliczyć składa się pole trójkąta równobocznego oraz pole jednego odcinka koła, a to ostatnie pole to jedna trzecia tego co pozostaje z różnicy pola koła i trójkąta.
Przy oznaczeniach:
Pk - pole koła
Pt - pole trójkąta ABC
Po - pole odcinka koła
Px - pole figury, które mamy obliczyć w zadaniu
a - długość cięciwy i jednocześnie boku trójkąta = 6cm
r - promień koła
mamy:
Px = Pt+Po = Pt+1/3*(Pk-Pt) = a²√3/4+1/3(πr²-a²√3/4) =
2/3*a²√3/4+πr²/3 = a²√3/6+πa²/9 = (36²√3/6+π36/9) cm² =
(6²√3+4π) cm² = 2(3√3+2π) cm²