Question

W daną półkulę o promieniu R wpisano stożek, którego wierzchołek leży w środku kuli, a jego podstawa jest równoległa do podstawy półkuli. Oblicz maksymalną objętość stożka.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, uzależniłem objętość stożka od kąta alfa (wysokość stożka dzieli trójkąt na 2 trójkąty równoramiennie, kąt alfa umiejscowiłem przy środku kuli):

Proszę sprawdzić, czy wykonałem to poprawnie:

1) Jeśli tak, obliczyć (i koniecznie rozpisać!) pochodną V'(alfa), przyrównać ją do zera i sprawdzić, czy w tym punkcie występuje lokalne maksimum

2) Jeśli nie, uzależnić objętość stożka od innej, jednej zmienniej i kontynuować (rozpisując kolejne kroki) aż do znalezienia Vmax.

Answer 1

Trochę sobie skomplikowałeś zadanie uzależniając objętość stożka od połowy kąta przy jego wierzchołku. Dużo prościej jest powiązać wysokość oraz promień podstawy stożka z promieniem kuli i skorzystać wtedy z wzoru na objętość V = 1/3 πr³h
Oznaczamy:
R - promień kuli
r - promień podstawy stożka
h = wysokość stożka
Przy pomocy pitagorasa wyliczamy jedną zmienną i wstawiamy do wzoru na objętość
r² + h² = R²
r² = R² - h²
wstawiamy
V(h) = 1/3 ×π × ((R² - h²) × h
V(h) = 1/3πR²h - 1/3πh³
pochodna
V'(h) = 1/3πR² - πh²
1/3πR² - πh² = 0
πh² = 1/3πR²
h² = 1/3R²
h = √3/3 R
Mamy punkt podejrzany o ekstremum, więc obliczamy drugą pochodną w tym punkcie. Jeżeli druga pochodna jest dodatnie, to jest to minimum, jeżeli ujemna - maksimum.
V''(x) = -2πh
V''(√3/3R) = -2π√3/3R = -2√3/3 πR
π i R to wielkości dodatnie, więc druga pochodna jest ujemna.
Funkcja osiąga w punkcie h = √3/3R maximum.
Obliczamy r
r² = R² - h² = R² - (√3/3 R)² = R² - 1/3 R² = 2/3 R²
r = √(2/3) R
V = 1/3πr²h = 1/3 × π × 2/3R² × √3/3 R
V = 2√3/9 π R³
I to jest właśnie maksymalna objętość stożka.