Question

W ciągu arytmetycznym różnica miedzy siódmym i drugim wyrazem jest równa 20, a czwarty wyraz jest równy 17. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 860.

Answer 1

W ciągu arytmetycznym różnica miedzy siódmym i drugim wyrazem jest równa 20, a czwarty wyraz jest równy 17. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 860.

Dane:
n∈N₊
a₇-a₂=20 --->a₁+6r-a₁-r=20 --->5r=20 --->r=4
a₄=17
Sn=860

a₄=a₁+3r --->17=a₁+3*4 ----> a₁=5

Sn=[2a₁+(n-1)r]n/2
860=[2*5+4n-4]n/2 /*2
1720=(6+4n)n
1720=6n+4n²
4n²+6n-1720=0 /:2
2n²+3n-860=0 otrzymaliśmy równanie kwadratowe
Δ=9+6880=6889
n₁=(-3-83)/4=<0 odrzucamy, bo n∈N₊
n₂=(-3+83)/4=20

Odp: 20 początkowych wyrazów daje w sumie 860.

Answer 2

Mamy a7 -a2 =20
oraz a4 =17
Sn =860
Obliczyć n
a7 =a1 +6r
a2 =a1 +r
a7-a2 = (a1 +6r) -(a1 +r) =5r
czyli 5r = 20 , stad r =4

a4 =a1 +3r , po podstawieniu
17 =a1 +3*4 =a1 +12
a1 =17 -12=5
korzystamy ze wzoru
2*Sn =(a1+an)*n --> n =2*Sn /(a1 +an) =2*860/[10 +(n-1)*4]=
=1720/4n+6
n*(4n +6) =1720
4*n^2 +6n -1720 = 0
2*n^2 +3n -860 =0
Obliczamy deltę
delta =9 +8*860 =6889
pierwiastek z delty =83
n1 = (-3-83)/4 - liczba ujemna
n2 =(-3 +83)/4 = 80 /4 = 20

Odp. 20 początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 860.