Question

Uzasadnij,że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe.

Answer 1

Spójrz na rysunek:

 

http://img252.imageshack.us/img252/3677/sssssssasasasasa.gif

 

(nie chciało mi dodać załącznika, więc zamieszczam linka)

 

Zauważ, że dwusieczna przy wierzchołku A dzieli kąt na dwa kąty o tej samej mierze: na alfa i na alfa. W takim razie kąt DAB ma miarę 2*alfa (takie nasze założenie).

 

Wiadomo, że w trapezach (a zatem i w równoległobokach, rombach, prostokątach i kwadratach) kąty przy jednym ramieniu dają w sumie 180 stopni. W takim razie kąt ADC ma miarę 180-2*alfa. Kąty ADC i ABC są sobie równe. Więc dwusieczna kąta ABC dzieli ten kąt na dwa takie same kąty o miarach:

 

 

Spójrzmy teraz na trójkąt AOB (O - to punkt przecięcia się dwusiecznych). Jego kąty to:

 

OAB =

ABO =

BOA = ?

 

Wiemy, że suma kątów w trójkącie to 180 stopni. W takim razie:

 

OAB+ABO+BOA=180

 

Podstawiamy i wychodzi:

 

 

:)