Question

Uzasadnij, że jeśli: a+b=1, a kwadrat + b kwadrat=7 to a do4 + b do4= 31

Answer 1

a + b = 1

a^2 + b^2 = 7

to

a^4 + b^4 = 31

Mamy

b = 1 - a

więc

a^2 + b^2 = a^2 + ( 1 - a)^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2 a^2 - 2a + 1

2 a^2 - 2 a + 1 = 7

2 a^2 - 2a  - 6 = 0  / : 2

a^2 - a - 3 = 0

delta  =  ( -1)^2 - 4*1*( -3) = 1 + 12 = 13

p (delty) = p(13)

a = ( 1 - p(13))/ 2   lub   a = ( 1 + p(13))/2

---------------------------------------------------------

więc

b = 1 - [ 0,5 - 0,5 p(13) ] = 0,5 + 0,5 p(13)

lub

b = 1 - [ 0,5 + 0,5 p(13) ] = 0,5 - 0,5 p(13)

 

dlatego

a^2 = ( 0,5 - 0,5 p(13))^2 = 0,25 - 0,5 p(13) + 13/4 = 7/2 - 0,5 p(13)

a^4 = 12,25 - 3,5 p(13) + 13/4 = 15,5 - 3,5 p(13)

oraz

b^2 = ( 0,5 + 0,5 p(13))^2 = 0,25 + 0,5 p(13) + 13/4 = 3,5 + 0,5 p(13)

b^4 = 12,25 + 3,5 p(13) + 13/4 = 15,5 + 3,5 p(13)

zatem

a^4 + b^4 = 15,5 - 3,5 p(13) + 15,5 + 3,5 p(13) = 31

Podobnie można sprawdzić dla

a =  ( 1 + p(13))/2   i   b = 0,5 - 0,5 p(13)

ckd.

============================================

p(13)  - pierwiastek kwadratowy z 13

Answer 2

a²+b² = 7  I()²(

(a²+b²)² = 7²

(a²)²+2·a·b+(b²)² =  49

a⁴+2a²·b²+b⁴ = 49

a⁴+2(ab)²+b⁴ = 49

 

a+b = 1  I()²

(a+b)² = 1²

a²+2ab+b² = 1

       a²+b² = 7

7+2ab = 1

2ab = 1-7

2ab = -6  /:2

ab = -3

 

a⁴+2(-3)²+b⁴ = 49

a⁴+2*9+b⁴ = 49

a⁴+b⁴ = 49-18

a⁴+b⁴ = 31

--------------

c.n.d