Question

Uwaga zadania musze miec rozwiązane w przeciągu godziny do 17:30 czekam nie dłużej. Jezeli ktos zacznie rozwiazywac to piszcie na pw, bo nie wiem czy mam czekać.

zad 1
F(x)= (¼)^x
Podaj te wartości parametru m dla których równanie |f(x+1)-3| = m
ma 2 rozwiazania przeciwnych znaków?

zad 2
Naszkicuj wykres funkcji f(x)=|2^x - 4| + 1 a następnie okresl liczby rozwiazan rownania f(x)=k^2 w zaleznosci od k.

Answer 1

Zadanie 1
f(x) = (¼)^x
to jest funkcja wykładnicza, przyjmuje wartości z zakresu (0, ∞), ponieważ 1/4 < 1 to dla x < 0 z przedziału (1, ∞), a dla x ≥ 0 z przedziału (0, 1>

g(x) = f(x + 1) - 3 = (1/4)^(x + 1) - 3
to jest funkcja f przesunięta o wektor [- 1, - 3], czyli przyjmuje wartości z zakresu (- 3, ∞), dla coraz mniejszych x coraz większe (funkcja maleje)
szukamy, punktu przecięcia z osią OX
0 = (1/4)^(x + 1) - 3
3 = (1/4)^(x + 1)
x + 1 = log[1/4]{3}
x = log[1/4]{3} - 1

czyli dla h(x) = |g(x)| zbiorem wartości dla x mniejszych od log[1/4]{3} - 1 (tam gdzie funkcja g była dodatnia jest przedział (0, ∞) - nic się nie zmienia, natomiast dla x ≥ log[1/4]{3} - 1 jest minus przedział który był wcześniej <0, 3) (zamiast (- 3, 0>)

jak wynika z rysunku ostatecznie:
m ∈ (0, 3)


zadanie 2
f(x) = |2^x - 4| + 1

2^x - 4 ≥ 0
2^x ≥ 2²
x ≥ 2

Rysujemy osobno na dwóch przedziałach:

dla x ≥ 2
f(x) = |2^x - 4| + 1 = 2^x - 3
to jest funkcja f(x) = 2^x (niebieska), przesunięta o 3 jednostki w dół (wektor [0, - 3]) - zielona

dla x < 2
f(x) = |2^x - 4| + 1 = 5 - 2^x
to jest funkcja f(x) = 2^x (niebieska) przekształcona przez symetrię względem OX (brązowa), a następnie przesunięta o 5 jednostek w górę (wektor [0, 5]) - czerwona

f(x) = k²
k² - f(x) = 0
f(x) > 0
(k - √(f(x))(k + √f(x)) = 0
k = √f(x) ∨ k = - √f(x)

0 rozwiązań: k ∈ (- 1, 1)
1 rozwiązanie: k ∈ (-∞, - 5> {- 1, 1} u <5, ∞)
2 rozwiązania: k ∈ (- 5, - 1) u (1, 5)

jak masz pytania to pisz na pw