Question

Ułóż równanie kwadratowe takie, aby suma kwadratów odwrotności pierwiastków równania oraz suma kwadratów pierwiastków była równa 4,25.
Doszedłem dzięki wzorom Viete'a, że w równaniu kwadratowym a^2*x+b*x+c i a nie jest równe 0:
a=c oraz b=2,5a lub b=-2,5a. Wiem też, że takich równań powinno być 4. Jakie to będą równania i dlaczego. W podpowiedzi pisało, że a=2, jak to obliczyć?

Answer 1

X²+y²=4,25
1/x²+1/y²=4,25

x²+y²=4,25
(x²+y²)/x²y²=x²+y²


x²+y²=4,25
1/x²y²=1



x²+y²=4,25
x²y²=1


x²+y²=4,25
y²=1/x²


x²+1/x²=4,25
y²=1/x²

x⁴-4,25x²+1=0
y²=1/x²


x⁴-4,25x²+1=0
podstawiamy
t=x² i t>0

t²-4,25t+1=0
delta=14,0625
√delty=3,75

t₁=0,25 t₂=4

x²=1/4 x²=4

x=1/2lub x=-1/2 lub x=2 lub x=-2

y²=1/x²
x=1/2lub x=-1/2 lub x=2 lub x=-2

y²=1/(1/4) lub y²=1/(1/4) lub y²=1/4 lub y²²=1/4
y=2 lub y=-2 lub y=1/2 lub y=-1/2

Answer 2

Wzory Viete'a
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

(x1)²+(x2)²=4,25
1/(x1)²+1/(x2)²=4,25

delta>0

(x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1x2=
=(-b/a)²-2*(c/a)=b²/a²-2ac/a²=
=(b²-2ac)/a²=4,25

1/(x1)²+1/(x2)² = (x1²+x2)²/(x1x2)²=[(b²-2ac)/a²]/(c/a)²=
=[(b²-2ac)/a²]*(a/c)²= (b²-2ac)/c² =4,25

ponieważ (b²-2ac)/c²=(b²-2ac)/a², więc a=c lub a=-c

(b²-2a²)/a²=4,25
b²-2a²=4,25a²
b²-6a²=0
(b-2,5a)(b+2,5a)=0
b = 2,5a lub b =-2,5a

wychodzi, że są 4 równania:
ax²-2,5ax+a=0
ax²+2,5ax+a=0
ax²-2,5ax-a=0
ax²+2,5ax-a=0

Sprawdziłem, jest dobrze. Za a podstaw cokolwiek oprócz a =0,
choćby a =1, wtedy są 4 równania:
x²-2,5x+1=0
x²+2,5x+1=0
x²-2,5x-1=0
x²+2,5x-1=0