Question

Udowodnij,że jeżeli ściany czworościanu są trójkątami przystającymi to suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego M tego czworościanu od jego ścian jest stała(tzn. nie zależy od wyboru pkt M)

Proszę także o rysunek i dobre obliczenia ukazujące tok myślenia rozwiązującego ;) z góry dzięki daje naj!

Answer 1

Czworościan to ostrosłup o czterech trójkątnych ścianach (patrz załącznik). Jeśli ściany te są trójkątami przystającymi to oznacza, że mają równe pola.

Pt - poleściany czworościanu

H - wysokość czworościanu

V - objętość czworościanu

V = ⅓ · Pt · H

 

M - dowolny punkt wewnętrzny czworościanu

Jeśli wewnętrzny punkt M czworościanu połączymy odcinkami z wierzchołkami tego czworościanu, to podzielimy go na cztery czworościany.

 

Podstawą każdego z czterech powstałych czworościanów będzie jedna ze ścian czworościanu wyjściowego, czyli te czorościany będą miały podstawy o tym samym polu równym Pt .

 

Wysokości tych czworościanów to odległości punktu M od ich podstaw, czyli od ściany czworościanu wyjściowego (bo odległość punktu od płaszczyzny jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę).

 

Oznaczmy wysokości otrzymanych czworościanów odpowiednio: h₁, h₂, h₃, h₄, wtedy objętości tych czworościanów równe są odpowiednio:

V₁ = ⅓ · Pt · h₁

V₂ = ⅓ · Pt · h₂

V₃ = ⅓ · Pt · h₃

V₄ = ⅓ · Pt · h₄

 

Suma objętości czterech otrzymanych czworościanów jest równa objętości czworościanu wyjściowego, zatem

V₁ + V₂  V₃ + V₄ = V

⅓ · Pt · h₁ + ⅓ · Pt · h₂ + ⅓ · Pt · h₃ + ⅓ · Pt · h₄ = ⅓ · Pt · H

⅓ · Pt · (h₁ + h₂ + h₃ + h₄) = ⅓ · Pt · H   /:(⅓ · Pt)

h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = H

zatem

suma wyskości otrzymanych czworościanów jest zawsze równa wysokości czorościanu wyjściowego, bez względu na wybór punktu M), a to oznacza, że udowodniliśmy, że suma odległości punktu M od wszystkich ścian czworościanu jest równa wysokości tego czworościanu, czyli jest stała niezależnie od wyboru punktu M.